変数分離の問題について

(x^2-y^2)dy/dx=2xy という問題はどのように分離して一般解を求めることができるのでしょうか

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/30 20:18

「同次形」ってやつだから、公式は No.1 のとおり。

他のやり方としては、例えば
x = r cos t,
y = r sin t で変数変換すると、

0 = (x^2-y^2)dy - 2xydx
　= (x^2-y^2){ (∂y/∂r)ｄｒ + (∂y/∂t)ｄt } - 2xy{ (∂x/∂r)ｄｒ + (∂x/∂t)ｄt }
　= cos(2t){ (sin t)ｄｒ + (r cos t)ｄt } - sin(2t){ (cos t)ｄｒ + (-r sin t)ｄt }
　= { cos(2t)(sin t) - sin(2t)(cos t) }ｄｒ
　　+ { cos(2t)(r cos t) + sin(2t)(r sin t) }ｄt
　= sin(t - 2t)ｄｒ + r cos(t - 2t)ｄt.
⇔
ｄｒ/r = { (cos t)/(sin t) }ｄt.

積分して、 (log r) = (log sin t) + C　{Cは定数}.
変形すると、 r = A sin t　{Aは定数, A=e^C}.

よって、
x = (A sin t)(cos t) = (A/2)sin(2t),
y = (A sin t)(sin t) = (A/2){ 1 - cos(2t) }.
ｔ を消去して、
x^2 + (y - B)^2 = B^2.　{Bは定数,B=A/2}.

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/07/30 19:55

x²で両辺を割って

　(1-y²/x²)y'=2y/x
u=y/x とおくと、
　(1-u²)y'=2u
y=ux を微分とて y'=u'x+u をいれると
　(1-u²)(u'x+u)=2u → u'x=2u/(1-u²)-u=(u+u³)/(1-u²)・・・①
ここで u≠0 とすると
→ {(1-u²)/(u+u³)}du=dx/x
→ {1/u-2u/(1+u²)}du=dx/x
→ log|u|-log(1+u²)=log|x|+C
→ log|u/(1+u²)x|=C
→ u/(1+u²)x=±exp^C=A(≠0)・・・・②

このとき、u≠0 として解いたが、u=0 もところが①を満たすので
②で、A=0 としたとき、u=0 を含むので、まとめて一般解を
　u/{(1+u²)x}=A　(Aは任意定数)
とできる。元に戻すと
　(y/x)/{(1+y²/x²)x}=A → y/(x²+y²)=A → y=A((x²+y²)
となる。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/07/30 19:46

z = y/x

としてyを消去する。