z=(1-cos(t))-isin(t)
=2sin(t/2){cos(w)+isin(w)}
2sin(t/2)cos(w)=(1-cos(t))=2(sin(t/2))^2
2sin(t/2)sin(w)=-sin(t)=-2sin(t/2)cos(t/2)
cos(w)=sin(t/2)=cos(t/2-π/2)
sin(w)=-cos(t/2)=sin(t/2-π/2)
以下、私の答案と問題です
https://imgur.com/a/tBsyupO
よろしくお願いします
No.9
- 回答日時:
#4です。
修正された図はかなり良くなっています。
まだ問題はある。二つほど指摘しておきます。
1.O'からOP'におろした垂線の足をMとしていますが、MはOPの中点としてすでに使われている文字です。同じ文字を別の点に用いてはいけません。
別の文字にすれば問題ありません。
2.OP'とO'Mが平行であることが示されていない。
見た目でわかると思うかもしれないが、この二つの線が平行であることを示していない。
見た目でわかる、などということは数学では通用しない。ちゃんと証明しないといけない。
一目でわかるほど簡単ではあるが、根拠を示しておかないといけない。
例えばOP→・OP'→=0を示し∠POP'=π/2であるとかとか、PP'が直径であることから直径に対する円周角=π/2であるなどを用いればよい。中点連結定理でもOK。
No.7
- 回答日時:
つぎにー2π<θ<0の場合としてNo.5の図の
ベクトルO'P''の実軸の正の向きとなす角をθとすると
直線O'P''と円のもう一つの交点(P''と反対側の交点)をQ
としたとき、ベクトルOQがzになります。
実軸正の向きとベクトルO'Qのなす角がπ-|θ|=π+θだから
Oのところの白抜きの角はπ/2+θ/2になり
|z|=OQ=2cos(θ/2+π/2)=-2sinθ/2、
偏角はベクトルOQが実軸の正の向きに対して上向きだから
白抜きの角そのままargz=θ/2+π/2 となります。
No.6
- 回答日時:
正直言って、θ>0の場合にあなたの図でθをそのように取る
意味がわかりません。
皆さん回答しているように
θはベクトルO'P'が実軸の正の向きに対して取る角とすべきなのです。
すると、ベクトルO'P'=cosθ+isinθでー(cosθ+isinθ)=O'Pベクトル
1-(cosθ+isinθ)=OO'ベクトル+O'Pベクトル=OPベクトル
つまりz=OPベクトルとなるわけです。
No.5さんのあげているあなたの修正図が
2π>θ>0の例になっているので
これを使って説明すると図でベクトルO'Pが実軸となす角の絶対値
π-θなので円周角と中心角の関係から図の黒塗りの角度は
π/2-θ/2、したがって|z|=OP=2OM=2・1cos(π/2-θ/2)=2sinθ、
偏角はベクトルOPがじつじくの正の向きに対して下向きなので
argz=-(π/2-θ/2)=θ/2-π/2と解釈します。
0>θ>-2πの時の説明はまたあとで、
No.4
- 回答日時:
#2です。
>勘違いされていませんか?
勘違いしているのはあなたです。
あなたの書いてある図にある△OO'Pをよく見てみましょう。
∠O'OPの大きさがθ/2ならOM=cos(θ/2)になります。sin(θ/2)にはなりません。
あなたがθ/2としているところの角の大きさはπ/2-θ/2なのです。
正しくは∠OO'P=θであり、角の大きさの根本のところが間違っているのです。
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