単振動の周期(特に復元力について) 図の右下の運動方程式の形から周期を求める。とありますが、これはm

単振動の周期(特に復元力について)
図の右下の運動方程式の形から周期を求める。とありますが、これはma=-K(x-x0)(K＞0,x＞x0) の場合、-K(x-x0)を復元力とよび、その時の周期を2π√m/K と"定義する"ということですか？また、この周期の式はこの形になったとき例外なく用いて良いのでしょうか。心優しい方どうかご教授下さい。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/30 11:13

天下りを「定義」とは呼ばないです。

導出が高校物理の範囲外になっているだけ。

微分方程式
x''= -bx 　( 'は時間微分 x''は加速度、b>0)
の解は
x=Acosωt+Bsinωt (ω=√(b))
と周期解になる事が知られてます。


mx''=-kx → x''=-(k/m)x
→ω=√(k/m)

T=2π/ω=2π√(m/k)

x=X-X0 として
X''=-b(X-X0)

としてもXはX0を中心に振動する周期解で
周期は変わらない

というのを理解するには、微分の知識が必須かな。
微分方程式知らないなら丸覚えするしか無いですね。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/29 11:13

No.1 です。

「お礼」について。

＞高校の範囲では運動方程式の形がma=-K(x-x0)という形で表されていれば周期は2π√m/Kと1発で書いて良いということですか？

はい。
「2π√(m/K)」（平方根の範囲をきちんと明示して）となるのは、「天下りの公式」というよりは、下記のような説明に基づくものと理解すれば、今後にも応用できると思います。
↓
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/ban …

この回答へのお礼

何度も丁寧に教えていただきありがとうございました。ずっと分からなかったことが分かり感謝してもしきれません。

お礼日時：2024/09/29 11:21

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/09/29 09:46

> ma=-K(x-x0)(K＞0,x＞x0) の場合、-K(x-x0)を復元力とよび

x＞x0 だなんてシバリはありません。また、「復元力」は単に「バネによる力」というだけの意味。

> その時の周期を2π√m/K と"定義する"ということ

いいえ。そんなもん「定義」ではない。
　同じ状態（同じ位置・同じ運動量）が再現する運動を「周期運動」と呼ぶ。その場合に、同じ状態に戻ってくるまでの時間を「周期」と呼ぶ。
　で、ご質問の問題の設定においても周期運動が発生する。そして、その周期を計算すると2π√(m/K)だとわかった、というだけの話です。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/09/29 09:16

当たり前のはずですが、復元力にしろ周期にしろ概念としての定義は別にちゃんとあります。

そしてこの問題の場合は「それらの定義に当てはめると今回はこのような式で表される」と言うだけの話です。定義と言うものを変な意味で捉えないように。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/28 23:37

微積分を理解していれば、単振動の運動方程式は

　m･d²x/dt² = -kx

となることは分かりますか？
　v = dx/dt
　a = dv/dt = d²x/dt²
ですから。

これは
　d²x/dt² = -(k/m)x　　　　①
で、２階微分すると「元の関数のマイナス」になるのは「三角関数」ということから、一般解は
　x(t) = Asin(ωt) + Bcos(ωt)　　　②
ということになります。
「ω」は角速度です。

②を２回微分すれば
　d²x/dt² = -Aω^2･sin(ωt) - Bω^2･cos(ωt)
　　　　　= -ω^2･[Asin(ωt) + Bcos(ωt)]
　　　　　= -ω^2･x
ですから、①と比較すれば
　ω^2 = k/m
ω > 0 で考えれば
　ω = √(k/m)

周期は
　T = 2π/ω　(ω = 2πf, T = 1/f）
なので
　T = 2π√(m/k)

定義じゃなくって、必然的にそうなるということです。
①の運動方程式で表わされる「単振動」では必ずこうなります。
微積分を使わない高校物理では「暗記する」ことになるのでしょうね。

参考
↓
https://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tan …

この回答へのお礼

結局微積が本質ということですが、高校の範囲では運動方程式の形がma=-K(x-x0)という形で表されていれば周期は2π√m/Kと1発で書いて良いということですか？

お礼日時：2024/09/29 11:03