Σk=1からnまでの（19/20）k-1乗の計算は （1-19/20のn-1乗）になりそうですけどな

Σk=1からnまでの（19/20）k-1乗の計算は
（1-19/20のn-1乗）になりそうですけどなんでn乗なんですか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/26 16:12

r=19/20 とすると

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/11/24 21:07

https://rikeilabo.com/formula-list-of-geometric- …
真中あたりに公式の証明あります

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/23 21:14

Σ[k=1～n](19/20)^(k-1)

=1+(19/20)+(19/20)^2+…+(19/20)^(n-1)
={1-(19/20)^n}/(1-19/20)
=20{1-(19/20)^n}

n=1 のとき
Σ[k=1～1](19/20)^(k-1)=1

20{1-(19/20)^n}=20{1-(19/20)}=20/20=1

n=1のとき
20(1-(19/20)^{n-1})=20(1-1)=0
となって1にならないから(n-1)乗はダメ

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/23 19:48

等比数列の和？

学校の教科書に載ってるでしょ。

S = Σ[k=1からnまで] rの(k-1)乗 と置くと、
rS = r Σ[k=1からnまで] rの(k-1)乗
　= Σ[k=1からnまで] rのk乗
　= Σ[k=2からn+1まで] rの(k-1)乗
　= { Σ[k=2からnまで] rの(k-1)乗 } + (rのｎ乗).
これと
S = 1 + { Σ[k=2からnまで] rの(k-1)乗 {}
を辺云引き算すると、
(1 - r) S = 1 - (rのn乗)
となる。よって、
S = { 1 - (rのn乗) } / (1 - r).
ｒ = 19/20 を代入すると、質問の和になる。

rのn乗 が登場するのは、
rS を作ったときに最高次の項の次数が +1 されたから。