熱伝導拡散方程式で ∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2 u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1

Question

熱伝導拡散方程式で
∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2
u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1
u (x､t)=f(x)

us(x)=u0+(u1-u0)x/L

周期関数のフーリエ展開を利用して
Cn=2/L ∫(0からL){f(x)-us(x)}sinnπxdx/L
と教えられたのがCnです。

このCnのLですが長さだと思っていたんですけど、
問題分が
∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2
u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1 
u (x､t)=f(x) 
0<x<1という条件が加わったていて

この場合のLは1でいいんですか？

今まで

u(0､t)=0=u0、u(π､t)=0=u1 
u (x､t)=f(x) 
0<x<π この場合L=π
や
u(0､t)=0=u0、u(2､t)=0=u1 
u (x､t)=f(x) 
0<x<2 この場合L=2

というふうにxの値の範囲とuのときの範囲が揃っていたんですが今回の質問ではxの値に範囲とuの値に範囲が揃ってなくてどうLを入れればいいかわかりません。

mtrajcp · Accepted Answer

u(0,t)=0
u(L､t)=0
という条件から周期は
L
になり

u(x,t)=Σ[n=1～∞]C(n)e^{-ktn^2π^2/L^2}sin(nπx/L)

になるのです

0<x<1 だからといってL=1 となるとはいえません

L の値は定まりません

ありものがたり · Answer

←No.1 補足

＞ 問題文は
＞ ∂u/∂t=0.1∂^2u/∂t^2
＞ u(0､t)=0、u(L､t)=0
＞ u(x､0)=f(x)=sinπx
＞ 0<x<1
＞ です。

これが拡散方程式だというのであれば、
∂u/∂t = 0.1∂^2 u/∂t^2 は
∂u/∂t =0.1∂^2 u/∂x^2 の間違いでしょうね。

前回投稿↓の質問補足から話題になっている
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13980478.html
L が 1 かどうか？ については、
依然として判る情報がありません。
No.1 にも書いたように、 おそらく L = 1 なんだろな
と思えてしょうがない問題なんですが、こればかりは
実際にもとの問題を読んでる人が確認しないとね。
どうなんですか？

＞ Cnを使い
＞ u(x､t)=us(x)+Σ(n=1〜∞)Cn exp(-kKnt)sin(nπx/L)という形を求めたいです。

この問題に、その形で書ける解があるかどうかは、
方程式を見ても判りません。
ネットなどを見ると、u(x,t) = X(x)T(t) と変数分離して
X(x), T(t) を求める記事が多数見つかりますが、
どうしてそのように変数分離できる解があると判ったのか？
に関する説明は見かけません。

u(x,t) = us(x) + Σ[n=1〜∞] Cn exp(-kKnt) sin(nπx/L)
という形の解がみつけたい、または、そういう形の解があると
あらかじめ知っている... という立場で計算だけするのなら、
解を微分方程式へ代入して、 Cn の漸化式へ変換してしまえばいい
と思いますが。

mtrajcp · Answer

∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2
は間違いで正しくは
∂u/∂t=k∂^2u/∂x^2

u(x､t)=f(x)
は間違いで正しくは
u(x,0)=f(x)

∂u/∂t=k∂^2u/∂x^2　…(1)
u(0､t)=0, u(L､t)=0
u(x,0)=f(x)
とする

u(x,t)=X(x)T(t)
と置く

↓これを(1)に代入すると

X(x)T'(t)=kX"(x)T(t)

T'(t)/{kT(t)}=X"(x)/X(x)

左辺はtだけの関数右辺はxだけの関数だから
定数になるからそれをμと置く

T'(t)/{kT(t)}=X"(x)/X(x)=μ

μ>0のとき
X(x)=c1e^{-x√μ}+c2e^{x√μ}
u(0,t)=X(0)T(t)=(c1+c2)T(t)=0
c1+c2=0
c2=-c1
u(L,t)=X(L)T(t)=(c1e^{-L√μ}-c1e^{L√μ})T(t)=0
c1(e^{-L√μ}-e^{L√μ})=0
c1=0=c2
X(x)=0

μ=0のとき
X(x)=c1x+c0
u(0,t)=X(0)T(t)=c0T(t)=0
c0=0
u(L,t)=X(L)T(t)=c1LT(t)=0
c1=0
X(x)=0

μ<0
X(x)=c1cos(x√-μ)+c2sin(x√-μ)
u(0,t)=X(0)T(t)=c1T(t)=0
c1=0
X(x)=c2sin(x√-μ)
u(L,t)=X(L)T(t)=c2sin(L√-μ)T(t)=0
sin(L√-μ)=0
L√-μ=nπ
√-μ=nπ/L
X(x)=c2sin(nπx/L)

T'(t)/T(t)=kμ

T(t)=be^{kμt}

↓μ=-n^2π^2/L^2 だから

T(t)=be^{-ktn^2π^2/L^2}

これよりu(x,t)の一般解は,重ね合わせの原理より
∴
u(x,t)=Σ[n=1～∞]C(n)e^{-ktn^2π^2/L^2}sin(nπx/L)

境界条件から
u(x,0)=Σ[n=1～∞]C(n)sin(nπx/L)=f(x)

C(n)=(2/L)∫[0～L]f(x)sin(nπx/L)dx

ありものがたり · Answer

初期条件が変わっていますが、↓のつづきではあるんでしょうね。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13980478.html
問題の記述は、かえって前より悪くなっているようですが。

＞ 周期関数のフーリエ展開を利用して
＞ Cn = 2/L ∫(0からL) { f(x) - us(x) } sin nπx dx/L
＞ と教えられたのが Cn です。

f(x) - us(x) をフーリエ展開したのなら、
C(n) = (2/L) ∫[0からL] { f(x) - us(x) } sin(nπx/L) dx
のはずです。 右端の /L は書き間違いだと思います。

また、同時に
(2/L) ∫[0からL] { f(x) - us(x) } cos(nπx/L) dx
が登場していないことが謎です。

＞ u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1
＞ us(x)=u0+(u1-u0)x/L

というのも何だかよく判らない書き方ですが、
u0, u1 は定数 0 なんでしょうか？
すると、 us(x) は定数関数 0 ってことになりますが
それでいいんですか？

＞ u(x､t)=f(x)

は、おそらく u(x,0) = f(x) の間違いなんじゃないか
と思いますが...　どうなんですかね？

＞ 0<x<1 という条件が加わったていて
＞ この場合の L は 1 でいいんですか？

L = 1 でいいか悪いかは、もとの問題文を
読んでみなければ判りようがありません。
質問文に問題が正しく引用されているとは思えない状況なので、
明確には答えようがないかな。

ただ、
境界条件が u(0,t) = 0, u(L,t) = 0 で与えられてるらしいこと、
us(0) = u0, us(L) = u1 になるような関数 us を使って
何かしようとしていること、
フーリエ展開を ∫[0からL] … dx の積分で計算していること
などを見ると、 x の変域を 0 ≦ x ≦ L で扱う問題に違いない
だろうなあ とは思いますよ。

もとの問題文をきちんと読んで、あなた自身が確認しましょうね。

熱伝導拡散方程式で ∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2 u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1

u(0,t)=0

←No.1 補足

∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2

初期条件が変わっていますが、↓のつづきではあるんでしょうね。

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