英文の投稿短編小説を検索すると、その短編小説に含まれる文法の誤りの数をX個所とし、Xを確率変数とする

英文の投稿短編小説を検索すると、その短編小説に含まれる文法の誤りの数をX個所とし、Xを確率変数とすると、Xは平均7個所の誤りがある。確率変数Xは平均7のポアソン分布に従うと仮定するとき、以下の問題に答えなさい。
なお、回答は数値まで求めなくてよく求める計算式で表現できていればよく例えば、途中
にe^xという形式が出てきた場合はそのままでよい。
(1)短編小説を無作為に選ぶとき、この短編小説に含まれる文法の誤りが1個所である確率を求めなさい。またこの
(2)短編小説に含まれる文法の誤りが、少なくとも2個所ある確率を求めなさい。
(3)Xの分散の値を求めよ。

この問題の答えを教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/19 22:00

ある確率の事象が「起こるか、起こらないか」の場合、一定回数試行して「起こる回数」は「二項分布」します。

「確率 p の事象が、n 回試行して r 回起こる確率」は

　P(n, r) = nCr ･ p^r ･ (1 - p)^(n - r)

となります。

その確率が「事故が起こる確率」とか「大地震の起こる確率」のように極めて小さい場合には、np = λ として、事象が k 回起こる確率は、ポアソン分布で

　P(X = k) = e^(-λ) ･ λ^k / k!　　　①

と表わされます。
そして、その期待値、分散は
　E[X] = λ
　V[X] = λ
です。
これは教科書に載っているはず。

ここでは、 n を「短編小説の文法的判定個所全体の数」、p を「そのうちの誤りの確率」として
　E[X] = λ = np = 7
ということです。
さらに
　V[X] = 7
ということになります。

ということで、例題での確率関数は

　P(X = k) = e^(-7) ･ 7^k / k!　　　②

となります。

(1) k=1 なので、②は

　P(X = 1) = e^(-7) ･ 7^1 / 1! = 7e^(-7)

(2) k ≧ 2 の確率は、１から余事象（k=0 または k=1 の確率）を引いたものなので

　1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]
= 1 - e^(-7) ･ 7^0 / 0! - 7e^(-7)
= 1 - e^(-7) - 7e^(-7)
= 1 - 8e^(-7)

(3) 上に書いたとおり

　V[X] = 7

この回答へのお礼

お礼日時：2025/01/26 21:31

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2025/01/19 20:17

「短編小説」がどうのこうの、と言われると、現実世界の現象を調べる統計学の話のように聞こえる。

けれども、ご質問の問題は現実世界とは直接の繋がりがない確率論、すなわち数学の話です。統計学ではありません。
　「短編小説」云々は目くらましというか、いや、不適切ですらある。そして出題者自身も、そこの所はキッチリ無視してくれ、という意図を持って作問している。つまり、問題が尋ねているのは単に：

平均7のポアソン分布に従う確率変数Xについて、
(1) X=1となる確率はいくらか。
(2) X≧2となる確率はいくらか。
(3) Xの分散はいくらか。

と、それだけです。
　こんなもん、ポアソン分布について教科書なりサイトなり調べればイッパツで解決ですね。