高校数学について

画像の極限の計算って何が間違っていますか？
どこが違うのかわからず困っています。
n/2を出してカッコでくくるのが間違いなのでしょうか？もしそうなら、limn→∞(n*3-2n)=limn→∞n*3(1-2/n*2)=∞というのと何が違うのですか？

No.10 回答者： finalbento 回答日時： 2025/05/02 14:01

ツッコミの追記ですが、件の式変形って最初の式でnをそのまま無限大にしたら「∞/∞」と言う不定形になるからだったはずてすよね。

それなのに変形の結果がまた不定形では苦労して変形した意味がありません。それに「∞×0=0」と言う計算が許されるのであれば、そもそも最初から「∞/∞=1」とやってしまってもいいのでは? と言う話になるはずです。

No.9 回答者： finalbento 回答日時： 2025/05/02 13:31

違った観点からのツッコミを書くと、そもそも「∞/2」と言う書き方が間違っています。

∞は数ではないので「∞/2」と言う数も存在しません。

もちろんそう言った事を承知しているのであれば、自分だけが見るメモ的な形で「∞/2」と言った書き方をしてもいいでしょうが、計算のプロセスとして答案に書くのは絶対にダメです。繰り返しになりますが「∞/2」と言う数は存在しない(∵「∞/2」は数ではない)ので。

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/01 18:48

画像の通り

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/01 16:28

n/2を出してカッコでくくるのは間違いではありません

{(1+n)/(n+2)-1}
を
{(1/n+1)/(1+2/n)-1}
として
(1-1)
とするのが間違いです

画像の通り
{(1+n)/(n+2)-1}
を
{-1/(n+2)}
とするのがよい

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/01 14:05

間違っているところは

無限大×限りなくゼロに近い

という形に持って行っても、極限を計算できないのに
無理やりゼロにしてるところ。

根拠ないよね？

この問題の場合、分数の分母、分子とも収束する形に
持ってゆけば計算できます。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/05/01 13:43

(n/2)(1+n)/(n+2) - n /2

= {2(n/2)(1+n) - n(n+2)}/{2(n+2)}
= {n(1+n) - n(n+2)}/{2(n+2)}
= {n^2 + n - n^2 - 2n}/{2(n+2)}
= -n/{2(n+2)} = (-1/2){1/(1+2/n)}

lim[n→∞](n/2)(1+n)/(n+2) - n /2
=lim[n→∞](-1/2){1/(1+2/n)}=-1/2

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/01 13:39

この流れで No.3 が BA だったら、相当腹立つな。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/01 11:25

∞×0=不定形だからダメ

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/01 11:18

ちな、問題の正解は、

= lim[n→∞] (n/2){ (1/n + 1)/(1 + 2/n) - 1 }
= lim[n→∞] (n/2){ (-１/ｎ)/(1 + 2/n) }
= lim[n→∞] (-1/2)/(1 + 2/n)
= (-1/2)/(1 + 0)
= -1/2.
ですね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/01 11:14

= lim[n→∞] (n/2){ (1/n + 1)/(1 + 2/n) - 1 }

までは合っています。
間違ったのは、
(∞/2)(1 - 1) = 0 の部分です。

∞・0 は、「不定形」と言って、
= 0 どころか収束するかどうかも
個々の ∞、0 ごとに違います。
例えば、
lim[n→∞] (n^2)・(1/n) = ∞,
lim[n→∞] (n)・(1/n) = 1,
lim[n→∞] (n)・(1/n^2) = 0
ですよね。
どれも ∞・0 と書けば書けますけど。

lim[n→∞] (a_n)(b_n) = lim[n→∞] (a_n) ・ lim[n→∞] (b_n)
は、lim[n→∞] (a_n) と lim[n→∞] (b_n) が両方収束する
場合にしか成り立たない式です。