1/(s(s^2+2s+5))を部分分数分解するときに分子を未定数で置くとき(a/s)+(bx+c)

1/(s(s^2+2s+5))を部分分数分解するときに分子を未定数で置くとき(a/s)+(bx+c)/(s^2+2s+5)で分け方あってますか？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/10 09:52

あ、

1/(s(s^2+2s+5)) = 1/(5s) + (-2-i)/(20(s+1+2i)) + (-2+i)/(20(s+1-2i)),
1/(s(s^2+2s+5)) = 1/(5s) - (s+2)/(5(s^2+2s+5))
と書いたほうがよかったか。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/10 09:49

実部分分数分解を得るためにも、

複素部分分数分解は役立ちます。

一旦 1/(s(s^2+2s+5)) = a/s + b/(s+1+2i) + c/(s+1-2i) と置いて、　←[1]
両辺に s を掛けると 1/(s^2+2s+5) = a + bs/(s+1+2i) + cs/(s+1-2i).
この式で ｓ→0 の極限を取ると、 1/5 = a + 0 + 0.

[1] の両辺に s+1+2i を掛けると
1/(s(s+1-2i)) = a(s+1+2i)/s + b + c(s+1+2i)/(s+1-2i).
この式で s→(-1-2i) の極限を取ると、
1/((-1-2i)(-4i)) = 0 + b + 0 から
b = (-2-i)/20.

分母 (s+1-2i) について同様に、
c = (-2+i)/20.

よって、
1/(s(s^2+2s+5)) = (1/5)/s + ((-2-i)/20)/(s+1+2i) + ((-2+i)/20)/(s+1-2i).
　　　　　　　= (1/5)/s + (-2-i)/(20(s+1+2i)) + (-2+i)/(20(s+1-2i)).
ここまでが複素部分分数分解。

係数に虚数がある分数を組み合わせてまとめると、
1/(s(s^2+2s+5)) = (1/5)/s + { (-2-i)/(20(s+1+2i)) + (-2+i)/(20(s+1-2i)) }
　　　　　　　= (1/5)/s - (s+2)/(5(s^2+2s+5)).
こっちが実部分分数分解。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/05/10 04:10

違います

1/(s(s^2+2s+5))=(a/s)+(bx+c)/(s^2+2s+5) ではありません

1/(s(s^2+2s+5))=(a/s)+(bs+c)/(s^2+2s+5) です

1=a(s^2+2s+5)+s(bs+c)
1=(a+b)s^2+(2a+c)s+5a
a+b=0
2a+c=0
5a=1
a=1/5
b=-1/5
c=-2/5

1/(s(s^2+2s+5))={1/(5s)}-(s+2)/{5(s^2+2s+5)}

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/05/09 23:07

「未定数」ってなんだろう. そしてどこから x が生えてきたんだろうか.

この回答へのお礼

普通に考えたら入力ミスでしょ

お礼日時：2025/05/10 01:18

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/05/09 22:51

実部分分数分解なら、そのとおり。

複素部分分数分解なら、 a/s + b/(s+1+2i) + c/(s+1-2i) とか。