10進数　→　2進数

Question

小数点を含んだ実数の、10進数から2進数への変換のやり方がよくわかりません。できるときとできないときがあります。たとえば、

(0.1)_10 = (0.0001100110011・・・)_2

※(A)_xとは、数値Aのx進数表現というイミです。以下もこの表現を使います。

となるらしいですが、どうやればいいのでしょうか？わかりません。

また、ついでに聞いておきたいことがもう一つあります。小数点を含まない数値の
変換も教えていただきたいです。

たとえば今までぼくは、(101)_10を2進数に変換するのに、

(101)_10 = (100 + 1)_10 = ( 2^2・25 + 1 )_10

= ( 2^2・( 2^3・(2 + 1) + 1 ) +1 )_10 = (2^6 + 2^5 + 2^2 + 2^0 )_10

= (1100101)_2

などという、めんどくさいことをやっていたのですが、もっとスマートなやりかたはないでしょうか？
コンピュータもいちいちこんなやり方でやっていたら、計算量多すぎてやってられないような気がするので、きっとあると思うんですけど…簡潔なアルゴリズム…

kony0 · Accepted Answer

小数の場合は、「イメージ」よりも「位取り記数法」で考えたほうが早そうです。まず、２進数→１０進数のほうが考えやすいのでこちらから。 (0.101)_2を１０進数に直すといくらになるかはおわかりですか？答えは、1*(1/2) + 0*(1/4) + 1*(1/8) = 5/8 です。（表記として適当ではないですが）ある２進数を(0.abcdef...)_2と文字置きすると、 (0.abcdef...)_2 = a/2 + b/4 + c/8 + d/16 + e/32 + f/64 + … この両辺をおもむろに２倍すると、右辺から考えて a +( b/2 + c/4 + d/8 + e/16 + …) = a_2 + (0.bcdef...)_2 = (a.bcdef...)_2 です。回りくどい説明ですが、これは「２進数では値を２倍すると位が１つずれる」という説明そのものです。 #3でwogotaさんが書かれた求め方についての解釈は次のとおりです。（ていうか文字で書いただけやけど^^;） (0.1)_10 = (0.abcdefg...)_2とおくと、両辺２倍　(0.2)_10=(a.bcdefg...)_2 よりa=0 両辺２倍　(0.4)_10=(b.cdefgh...)_2 よりb=0 両辺２倍　(0.8)_10=(c.defghi...)_2 よりc=0 両辺２倍　(1.6)_10=(d.efghij...)_2 よりd=1, (0.6)_10=(0.efghij...)_2 両辺２倍　(1.2)_10=(e.fghijk...)_2 よりe=1, (0.2)_10=(0.fghijk...)_2 ここで、(0.bcdefg...)_2 = (0.fghijk...)_2 より f=b, g=c,... と循環することが読みとれます。即ち(0.1)_10 = (0.0<0011>)_2（<0011>とは 0011 0011 0011 …と循環する、の意味）

yusuke5111 · Answer

No.3のwogotaさんの回答で、あってると思います。

あえて付け加えるとすれば、
＞小数点を含んだ実数の、10進数から2進数への変換のやり方がよくわかりません。できるときとできないときがあります。
とありますが、例であげている(0.1)_10 などは２進数で表せない数の代表的な一例です。
実際、コンピュータでもこれが原因で誤差が出ることがあります。

kony0 · Answer

整数値の変換について、皆さんがすでに書かれている導出式の「イメージ」を極めて俗っぽくかくとこんな感じです。

２進数の世界の人達は、１円玉が２枚たまると２円玉１枚と交換できます。（次の位に進むということ）
同様に２円玉２枚で４円玉に、４円玉２枚で８円玉に。。。となります。

よって、１円玉101枚を持っている状態から、
101÷2=50余り1 によって、２円玉50枚と１円玉1枚
50÷2=25余り0によって、50枚ある２円玉が４円玉25枚に。
とやっていくと、64円、32円、4円、1円玉が１枚ずつになる。
これを２進数の世界では、(1100101)_2と書く、という感じです。

余りを逆に並べるとよいというのは、こんな仕組みを押さえておけば、詰め込み暗記にはならなくてよいと思います。

小数点の数値については。。。俗っぽい表現は難しいですなぁ。^^;

noname#1489 · Answer

No.#2のRIO-Freakです。

『10進数and2進数』で検索したら、小数の変換法が載っていました。見てみてください。

参考URL：http://cuvier.center.osakafu-u.ac.jp/lecture99/lecture-7/sld010.htm

wogota · Answer

題にあるように、101_10について考えてみましょう。
101=1×10^2+0×10^1+1×10^0
(^は、べき乗とします。つまり、10^2=10×10=100)
というように、数字を分解できます。
また、これらの数字を1つずつ求めるとした場合、
101÷10=10余り1
10÷10=1余り0
1÷10=0余り1
というように、考えることが出来ます。（この方法は、後述の考え方を
逆さにしているだけだったりします。）

ということで、割る数を2にすると、余りの数字から2進数に出来ます。
101÷2=50余り1
50÷2=25余り0
25÷2=12余り1
12÷2=6余り0
6÷2=3余り0
3÷2=1余り1
1÷2=0余り1
から、101_10=1100101_2となります。
小数点では、割る数ではなく掛ける形で表示できます。
0.1_10を例にしましょう。
0.1×2=0.2（1以下ということで0）
0.2×2=0.4（1以下ということで0）
0.4×2=0.8（1以下ということで0）
0.8×2=1.6（1以上なので、1。1.6-1=0.6）
0.6×2=1.2（1以上なので、1。1.2-1=0.2）
と言う風に、0を1つおいて"0011"の列が循環する表示になります。
よって、0.1_10=0.0001100110011・・・_2となります。

かなり、直感を重視した内容になっていますので、理論的な説明が必要ですね。

noname#1489 · Answer

小数点を含んだ実数の変換は、専門外なのでよくわかりませんが、10進数の整数を2進数に変換する場合には、

101÷2=50　余り　1　(1)_2
50÷2=25　余り　0　(01)_2
25÷2=12　余り　1　(101)_2
12÷2=6　余り　0　(0101)_2
6÷2=3　余り　0　(00101)_2
3÷2=1　余り　1　(100101)_2
1÷2=0　余り　1　(1100101)_2

というように、2で割っていって、余りを下の位から順に立てていきます。

yo-kan-62 · Answer

一応コンピュータ屋です。

コンピュータの中では、２進法が先です。

つまり２進数にあわせて、人に優しい１０進表記をしているのです。

とりあえずコンピュータの中の話でした。

ではでは。

10進数 → 2進数

小数の場合は、「イメージ」よりも「位取り記数法」で考えたほうが早そうです。

No.3のwogotaさんの回答で、あってると思います。

この回答への補足

整数値の変換について、皆さんがすでに書かれている導出式の「イメージ」を極めて俗っぽくかくとこんな感じです。

No.#2のRIO-Freakです。

題にあるように、101_10について考えてみましょう。

小数点を含んだ実数の変換は、専門外なのでよくわかりませんが、10進数の整数を2進数に変換する場合には、

一応コンピュータ屋です。

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