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屋根あさってが試験で非常にいそいでおります・・。

測量学で、等精度の場合の最確値の証明はできるのですが、重みつきの場合で、一つわからない点があります。それは
最小二乗法で証明をするのですが、

 S=(L1-x)^2+(L2-x)^2・・・・・=最小 が等精度の場合ですよね?

これに異精度の場合となると教科書には

 S=P1(L1-x)^2+P2(L2-x)^2・・・・・=最小

と残差の前に重みをかけることを自然にやっています。しかしこの証明がず~と考えているのですがなかなかできません この部分において証明できるかたお願いします。

A 回答 (2件)

S(x)が二次式ですから、S が最小のとき、Sをxで微分したものは


dS/dx = 0
になるはずです。

問題の式では、

dS/dx = 2 P1 (L1-x) + 2 P2 (L2-x) = 0

これを解くと

x = (P1 L1 + P2 L2)/(P1 + P2)

これは L1 と L2 の P1:P2 の内分点ですから、L1にP1、L2にP2の重みをかけてxを求めていることになります。

3点以上の場合も、

x = (P1 L1 + P2 L2 + ...)/(P1 + P2 + ...)

となるだけで、同じことです。
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答えになっていないと思うのですが・・。



異精度の場合、重みがつくことはわかっていると思います。
例えば、L1=4kmでL2=1kmだとすると、重みはL1が4でL2は1になりますよね?
(別に1と0.25でもかまいません。重量は比ですから)

等精度の場合、重みは全て1のはずです。(P1=P2=・・・・=1)
これを、数式で書くと1を掛けても答えはかわらないので、1は表記されません。
異精度の場合、重みは1でないこともありますね。(P1≠P2≠・・・)
ですから、等精度の場合でも、P1やP2(=1)がかかっていると考えれば、異精度の時も、残差の前に重みをかけることは自然なことだと思うのですが。
それが、1であるかないかの違いで、表面に出てきたりでてこなかったりするのだと思います。

答えになってますでしょうか?
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