質問するコーナーに迷ったんですが・・・。

 現在高校3年になります。で、ちょっと友達と議論になったんですが、大学受験の問題に、“高校範囲を逸脱する”定理を使うと、普通に解くより楽にできる問題ってありますよね。むしろその定理を意識させるくらいの・・・。
 ロピタルの定理やパップス・ギュルダンの定理、外積や合同式なども。

 で、僕らの中での一応の結論は、“この極限を求めよ”みたいにあからさまに極限計算を要求する問題ではロピタルは使わないほうが良い となりました。ただ、例えば・・・グラフを書く時などに、ロピタルを使って“limf(x)=0(x→∞)”などと、勝手に答案に書くときはとても微妙です。
 また、合同式などは、一部の高校学習参考書には記載してありますし、それらの著者の方々も口をそろえて“知っておいたほうが良い”と仰います。外積も。
 中には“大学に直接質問すれば?”なんて意見もあったんですが、“この定理は受験で使ったけどOKだったよ”とか“これを使ったら模試で減点されたよ”みたいな経験論でも結構ですので、どなたかご回答頂けませんでしょうか。お願いします。

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A 回答 (7件)

> No.5 hismixさん



私の理解が足りないところがありましたらごめんなさい。

私が
>単純な例ですが
>lim(sinx/x) 
>x→0
>をロピタルの定理を使って(cosx/1)の x→0 の極限より答えは1
>と導くのは、数学的には完全な0点になります。

と書いたのは、その極限値が1であることは、sinを微分したらcosになる証明に用いているので、
「分子を微分してcosxになる」ことは使えないというのが言いたいことでした。
質問者じゃないのにごちゃごちゃさせてすいません
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少しだけ補足について答えます。


マーク式は計算過程を問題としないので自分がつかえるならスピード勝負ですのでいいと思います。
ただし、筆記試験は高校過程範囲でどれだけ応用できるかを見たいわけです。
試験会場で問題を見てぱっと解ける人なんてほとんどいません。(解ける問題は有りますが、必ず1~2問はそんな問題です。)
そういった難問は高校の公式の組み合わせです。それに気づけるかどうかが採点の基準のメインです。
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回答の前にNo.2のezokaguraさんの回答についてのコメントですが


>単純な例ですが
>lim(sinx/x) 
>x→0
>をロピタルの定理を使って(cosx/1)の x→0 の極限より答えは1
>と導くのは、数学的には完全な0点になります。
これは極限を求めることに主題を置かれた問題で、ロピタルを使うなという例ですよね。一見するとロピタルの定理の仮定をみたさない例を挙げたように思われるのでコメントしておきました。sinxもxもx→0で0に収束し微分可能なのは明らかのためロピタルの定理は使えます。大学の教授に実際聞いたところ、このようにその定理の仮定を満たすかどうかのチェックをしていれば、減点をすることは有り得ないそうです。合同式や外積についても、mod nでa≡b,c≡d ⇒ac≡bdなどといった基本的な性質は断り無しに使っても問題はないそうです。またフェルマーの定理といったものでも、それが直接問題になっていない限り減点の対象にはならないそうです。
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基本的に高校の範囲外の定理は使わなくても解けます。


これらの定理が役に立つのは、実際に計算した値の予想を立てるぐらいでしょう。それが出来れば逆算も可能といった具合です。
数学で採点官が見るポイントは、その問題を解くのに必要な公式、定理をきちんと用いてといているかという事です。途中の計算の式があっているかよりも、筋道が正しいかどうかです。計算が合ってるかどうかは答えがあってるかどうかですから、簡単な話です。

最後に、公式を証明する問題はきちんとやった方が良いです。

この回答への補足

 すみません、red snakeさんに補足することで、皆さんへの補足とさせてください。

 ロピタルやパップス・ギュルダンはあまり実用的でないのは分かりました。
 が、合同式や外積は、“高校範囲を逸脱した高級定理”というより、単なる計算過程の違いだと思います。
 合同式なんて誰が見ても明かだし、“☆を○で割った余りを☆≡★(mod○)と書くことにする”と書けば、証明などしなくてもアルゴリズムの表記のし方の違いだけではないんですか?
 また、外積は、“aとbに共に垂直なベクトルの1つにnがある”などと解答用紙に書けば、外積を使った証拠はありません。

 “高校範囲外の定理を使わなくても解けます”と仰って頂きましたが、やはり≡式を使ったほうが一般的に早く解けますし、外積のほうがゴチャゴチャしなくて楽です。もちろん解けない問題は出されないでしょうが、解くスピードに関わってきますので・・・。

 合同式や外積について、追加解答お願いします。

補足日時:2001/11/01 01:14
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こんにちは。


ロピタル・ギュルダンの定理、僕も受験時代に
その定理の証明・利用法は知っていましたが、模擬試験で
使うことはありませんでした。
僕は一年間河合塾東大クラスに通っていたのですが、
どの講師も厳密な証明はしていませんし、授業でもこれらの定理を使わずに
解答していました。
大学に入って教授と話したのですが、
答案は解答だけを見るのではなくて、その過程もかなり重視する、
とのことです。答えなんて教授は知っている訳で
色々と試行錯誤した上で作成された答案をみたいのが
学校側の本音だそうです。
ですから、大学で履修する定理を使って2行くらいで解答を
終わらせる答案の印象が良くないのはそういうことなのです。
答案・点数が未公開の学校が大半の中で「高校学習過程では
扱わない定理を使ってるから減点」される可能性もありますし。
大学によって、使っていいところとダメなところがある、
という話もよく聞きますが、これも危険な情報です。
合っている保証はないのですから。
(大学側に電話して確かめればかなりの確率でその辺りを確認
できるとは思いますが、答えてくれるかは微妙ですよね)

ですが!
こんなにオイシイ定理をそのまま使わない手はないですよね(笑)
使う手段は以下の2ポイントです。
・極限を出す問題では、正攻法で答案を作り
 確かめ算的に使う。
・難易度の高い問題で、極限を出すところが
 その問題の本質でないときに使う。

旧課程では空間ベクトルの範囲が現課程よりも広い為、
外積を使うとかなり楽なケースが多かった為、予備校生の間では
常識になっていたと思います。
現課程の問題を見ると、外積を使うケースがかなり減ってきている
ようですね。

上記の定理を使うと他の人が悩んでる問題も
数分、もしかしたら数秒で解けてしまうこともありますよね。
先程も書きましたが、大学側は数学の答案に知識を求めているのでは
ないことは知っておく必要があると思います。
こういった定理を知っているだけで、いわゆる難問も解けてしまう
「快感」みたいなものを感じるのはわかります、僕も一時期そうでしたから。
また受験生としても「極限」楽したいというのはみんなが思っていることです
から(笑)
しかし、証明をできずに公式に代入するだけしか定理を利用できない
レベルならば、上記の定理は使わない方がいいと思います。
数学力が低下するからです。
Cake0530さんの学力がどのくらいかはわかりませんが、
是非、正攻法での答案作りをまず心掛けるといいと思います。
僕も受験生時代はそうでした。
「減点できるモンならしてみろ!」
なんて思ってましたし。
減点どころが、配点ゼロなんてときもありましたが(泣)

(補足)
ギュルダンもロピタルも証明して使えば、間違いなく
減点はないでしょうが、そこまでするなら普通に解いた方が
早い場合が多いと思います(^_^)
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外積や合同式は使って構いません。

模試で減点するなどありうるかもしれませんが、
大学の教官はそんなことはしないです。仮に数学科を卒業した人が他学部に再受験したとして、
そこで高校レベルまで数学の答案を落とす必要はないと考えればいいでしょう。

ロピタルについては、数学的に正しければ使って良いでしょう。
証明系のものは、論理的にきちんとしているかどうかを判断するのが素人には難しく、
そういった意味で濫用を戒めているのだと思います。

単純な例ですが lim(sinx/x) 
        x→0
をロピタルの定理を使って(cosx/1)の x→0 の極限より答えは1
と導くのは、数学的には完全な0点になります。
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私は受験の際はロピタルもパップスでも証明してから使うようにしていました。

模試でも減点はされなかったと思います。
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=lim[x→0](e^x)/1=1

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それと(1)の質問と重複しますが
lim[x→0]これが、0ではなく、1や∞に変わると、やり方が違ってくるのでしょうか?

Aベストアンサー

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(2)の場合、(e^x-1)/xについてx→0の極限を取ると、
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なので、分子分母を微分して求められる形にしてやろうというのがロピタルの定理です。

(1)は、一回微分した形(6x-1)/(2x+5)ではx→∞の極限をとるとやはり∞/∞になってしまいます。
なので、さらにもう一度微分したわけです。
ちなみに、x→∞でなくx→0なら不定形にならないのでxに0を代入すればいいだけですね。

(2)も同様です。仰るように分子も微分してe^xになっています。
x→0の極限をとればe^0が1なので1/1=1ですね。
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式変形に使ってゆかないと減点食らうかもしれません。

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分かりやすいでしょうね。

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