プランシェルの定理について

f,g,^gがすべて有界可積分ならば
<f,g>=<＾f,＾g>
が成り立つ

( <f,g>=∫[-∞→∞]f(g~)dt , g~：gの複素共役 , ^g : gのフーリエ変換 )


と教科書に書いてあるのですが、ここでg,が連続関数だという仮定はいらないのでしょうか？証明をみてみると、反転公式を使っているようなのでそのような仮定が必要ではないのかと思いました。どなたかよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： PRFRD 回答日時： 2009/06/06 08:52

一般論としては，Fourier反転定理に連続の仮定は不要なので

Plancherelの定理でも，そのような仮定は不要です．

しかし，Fourier変換の議論は，どのような空間を設定して
議論を積み重ねてきたかによって細かな部分が色々と変わるので，
＊その教科書では＊ 連続の仮定がいるかもしれません．
これは，教科書を見ないとなんとも言えないところなので，
是非ご自身で検証してください．

この回答へのお礼

教科書では、反転公式の証明で連続性の仮定を使っていたので
反転公式には連続性の仮定が必ず必要なのだと思っていました。
一般には連続性の仮定は不要なのですね。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2009/06/10 12:18