スペクトルをvoigt関数(ローレンツ関数とガウス関数の合成積)で分解、fittingしているですが、その生の実験データとfittingした関数のデータとで面積や、ピークセンターの誤差を計算したいのですが、誰か分かりやすく教えて頂けませんか?

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A 回答 (2件)

分からないでいじくるのは感心しませんね。


中川・小柳「最小二乗法による実験データ解析」東京大学出版会 
をお勧めします。
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この回答へのお礼

お勧めの本を教えて頂いてありがとうございます。これからもいろいろとお世話になると思いますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2001/11/21 11:25

状況がよく分かりませんので自信なしですが…(というのも、難しい非線形フィッティングができる方の質問としては、どうも腑に落ちないのですが)



 ローレンツ関数とガウス関数の合成積ってことは、フィッティングしたモデルはたとえばB exp(-(x-C)^2/A)と D/(E+(x-F)^2)の畳み込み積分で表されているってことでしょうか?

 フィッティングしたモデルのピーク位置は直ちにx=C+Fと分かります。別のモデルであっても、xで微分すればピーク位置を求める公式は直ちに得られますよね。
 カーブ下面積は、フィッティングに使ったxの範囲によって裾野の部分をどこまで切り取るかで違ってきますから、実用的にはモデルを数値積分するのが手っ取り早いと思います。

 実験データの方のピーク位置は、局所的なフィッティングで決めることになるのかな?たとえば放物線とかローレンツ関数を、最大値を取るデータの付近だけにフィッティングすれば良いでしょう。カーブ下面積。これはもう、台形公式で数値積分するしかありませんね。
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この回答へのお礼

fittingといっても,パソコンでOriginというソフトを使って,根本的な部分が分からず,ただ,ボタンを押しているだけなので・・・・。大変,参考になりました。もう少し,勉強した後,再びお願いします。

お礼日時:2001/11/11 17:39

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積分 e^x^2」に関するQ&A: e^-2xの積分

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Q実験の誤差について

誤差は主に系統誤差と偶然誤差に分けられますが、最終結果においては
普通これらの誤差をどのように扱うのでしょうか?

系統誤差と偶然誤差をそれぞれ算出した後、
・値が大きい方の誤差を最終的な「誤差」とする
・二つの誤差を足し合わせて最終結果としての「誤差」とする
・いずれも実験値の最終的な「誤差」として議論する
 (特に二つを足したり引いたりするわけでもなく、「統計誤差」「偶然誤差」を
  どちらも最終的な「誤差」として取り扱っていく)
のどれが一般的に行われてることなのでしょうか。それとも、また別の扱い方が
されているのでしょうか。

回答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

この Wikipedia の記事に貼ってある画像がわかりやすいでしょう。

正確度と精度 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E7%A2%BA%E5%BA%A6%E3%81%A8%E7%B2%BE%E5%BA%A6

つまり、そもそも的の中心から外れた方向に向いている、というのが「系統誤差」(正確度・確度)、

狙いは定まっているけれども、毎回同じところに飛んでいかない、というのが「偶然誤差」(精度)、

というわけです。

系統誤差の存在は、「そもそも基準はどこか?」というのがわかっていないと、絶対的数値が求まりません。ですから、測定値では、基準物の測定結果が無い限りは、どれだけが系統誤差でどれだけが偶然誤差なのか、という分離ができないのです。

Qガウス関数の周波数スペクトル

ガウス関数f(t)=exp(-t*t/2)の周波数スペクトルの求め方がわかりません…

F(jw)={f(t)*exp(-jwt)の∞~-∞の積分}
となることは分かるのですが、その後どのように計算したら良いかわかりません。
分かる方どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数です。
---------------------------------------------
 http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Sec6.pdf
 例題6.1 (2)

Q食酢の中和滴定 誤差 教えてください

10倍希釈試料中の酸濃度の相対誤差を4.0%(二次標準液の誤差1.9%、ホールピペットの誤差0.2%、ビュレットの誤差1.9%)と求めました。原液中の相対誤差はどのようにして求めればよいかを教えてください。

Aベストアンサー

回答が遅くなりまして失礼いたしました。
補足ありがとうございます。

>|ΔX/X|が相対誤差である。

では、測定値Xと誤差ΔXの値はいくつですか?
実験したのであれば、それぞれの値が分かっているはずですね。

もし、それが分からないのであれば、何か勘違いがあるか、見落としている点があるということです。

測定値というのは実際に測定した値ですから、実験したのであれば、必ず測定値が分かっているはずです。もし、それが分からないようであれば、そもそも実験をちゃんとやっていないということになります。

次に誤差ですが、最初から誤差の値は分かりません。ですから誤差の値を求める実験・測定をしているはずです。もし、そうした測定をしていなければ、例えば、実験の各段階で、誤差をいくつであると仮定しているとか、何か誤差の値を求めるための条件があるはずです。

ですので、まずは、以上のことをきちんと整理して下さい。

Qガウス分布、誤差関数の関係について。

この二つの関係がよく分かりません。

参考書籍の紹介などでも結構です。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。
A#1でミスプリの訂正です。
>別の「erf(x)」という関数を誤差関数と呼んでいる

>誤差関数elf(x)の数式的な関係は
> F(x)=(1/2)+(1/2)elf(x/√2)
誤差関数erf(x)の数式的な関係は
F(x)=(1/2)+(1/2)erf(x/√2)=[1/√(2π)}∫[-∞,x]e^(-x^2/2)dx
erf(x)=(2/√π)∫[0,x]e^(-t^2)dt=2F((√2)x)-1

誤差関数(error function)は 「erf(x)」と書くので差し替えておいて下さい。

補足ですが、似たような言葉を集めて見ましたので参考にして下さい。

正規分布はガウス分布とも呼ばれる。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83

ガウス積分
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86

ガウス関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E9%96%A2%E6%95%B0
正規分布関数はガウス関数の一種。

誤差関数
http://www-lab.ee.uec.ac.jp/subject/quality/error.html
正規分布、ガウス分布をさす意見もある(小数派)。
しかし、普通はerf(x)関数をさす(多数派)
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000.%93%C1%8E%EA%8A%D6%90%94%2F06000100.%8C%EB%8D%B7%8A%D6%90%94%2F10000100.%8C%EB%8D%B7%8A%D6%90%94%2Fdefault.xml
http://dl.cybernet.co.jp/matlab/support/manual/r2007/toolbox/matlab/ref/?/matlab/support/manual/r2007/toolbox/matlab/ref/erf.shtml

#1です。
A#1でミスプリの訂正です。
>別の「erf(x)」という関数を誤差関数と呼んでいる

>誤差関数elf(x)の数式的な関係は
> F(x)=(1/2)+(1/2)elf(x/√2)
誤差関数erf(x)の数式的な関係は
F(x)=(1/2)+(1/2)erf(x/√2)=[1/√(2π)}∫[-∞,x]e^(-x^2/2)dx
erf(x)=(2/√π)∫[0,x]e^(-t^2)dt=2F((√2)x)-1

誤差関数(error function)は 「erf(x)」と書くので差し替えておいて下さい。

補足ですが、似たような言葉を集めて見ましたので参考にして下さい。

正規分布はガウス分布とも呼ばれる。
http://ja...続きを読む

Q測量の誤差全般について

標記の件について、ネットや参考書を読んでいるのですが、
恥ずかしながら今ひとつ理解できません。
すみませんが、御教示頂きたく宜しくお願い致します。

質問1
「確率誤差」とは50%の確率で生じる誤差の範囲とすると、「平均2乗誤差」も何%で生じる誤差の範囲とかで定義されるのでしょうか?(「平均2乗誤差」がイメージできなくて悩んでおります。)
 また、「平均2乗誤差」が「ガウスの誤差曲線」にどう関係するか合わせて御教示お願いします。
 

質問2
「確率誤差」は、下式の様に「標準偏差」や「平均2乗誤差」を使ってを求める様ですが、
それぞれ違った値で導かれた結果をどう理解して使い分けたらようのでしょうか?


ε=0.6745×標準偏差
ε=0.6745×平均2乗誤差

Aベストアンサー

ANo.2です。ANo.3の補足の質問にお答えします。

>誤差曲線は以下のような理解でよろしいでしょうか?

前回の文献の用語に従えば、そのとおりだと思います。

蛇足ですが、「確率誤差」や「平均2乗誤差」の大きさは、矢印の、中心線から左側部分(あるいは右側部分)の長さに一致します。

Qガウス形とローレンツ形

波形でよく出てくるガウス形とローレンツ形ですが、これら半値幅とピークの高さがわかれば形が決まりますよね。
そこで、半値幅とピーク高さの値が求まったとして、面積を求めたいと思っています。半値幅とピーク高さでガウス形とローレンツ形の面積を表わすことができるのでしょうか?面積の公式ってあるのでしょうか?

数学に詳しい方、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ガウス(Gauss)型曲線は
(1)  G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です.中心は x=0 としています.
曲線と x 軸との間の面積 S はよく知られた公式で
(2)  S = ∫{-∞~∞} G(x) = (A/a)√π
です.
一方,ピーク値はもちろん A,
半値幅 w は,高さがピーク値の半分になる幅ですから,
x=±w/2 で G の値が A/2.
すなわち
(3)  exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で,これから
(4)  w = 2√(ln 2)/a  ⇔  a = w/2√(ln 2)
です.
(4)を(2)に代入して,ピーク値 A を考慮すればできあがり.

ローレンツ(Lorentz)型は
(5)  L(x) = B/(x^2 + Γ^2)
の形.前と同じく中心は x=0 としています.
ピーク値は x=0 とおいて B/Γ^2 ですね.
こちらも面積の積分は簡単で
(6)  S = ∫{-∞~∞} L(x) = Bπ/Γ
半値幅は
(7)  B/{(w/2)^2 + Γ^2} = (1/2) B/Γ^2
から
(8)  w = 2Γ  ⇔  Γ = w/2
(6)に(8)を代入して,ピーク値 B/Γ^2 を考慮すればできあがり.

ガウス(Gauss)型曲線は
(1)  G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です.中心は x=0 としています.
曲線と x 軸との間の面積 S はよく知られた公式で
(2)  S = ∫{-∞~∞} G(x) = (A/a)√π
です.
一方,ピーク値はもちろん A,
半値幅 w は,高さがピーク値の半分になる幅ですから,
x=±w/2 で G の値が A/2.
すなわち
(3)  exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で,これから
(4)  w = 2√(ln 2)/a  ⇔  a = w/2√(ln 2)
です.
(4)を(2)に代入して,ピーク値 A を考慮すればできあがり.

ローレンツ(Lorentz)...続きを読む

Qランダム誤差と系統誤差

ランダム誤差→極限的に正規分布に従うようなランダムな誤差
系統誤差→「真の値」にたいして系統的にずれて観測されるランダムでない誤差

として、普通のものさしなどの公差や、読み取り誤差、また、電流計の公差はどちらにあたるでしょうか?

Aベストアンサー

#5お礼欄に関して
>A.「極限的に正規分布に従うようなランダムな誤差」
>B.「多数測定で誤差を低減できる」
>というのが全く同じことのように感じるということです。
多分同じことを別の表現で表しているのだと思います。

で、(1),(2)に関して、(2)は必ずしも成立しないような。(中心極限定理って、母集団の分布が正規分布である必要はなかったかと)

測定誤差に関しては、
a)真値がAの事象があって、
b)これを無限回測定したと仮定すると、測定結果は、平均値A'、分散σ2の集団になる。
c)有限回の測定は、b)を母集団として、そこから有限個抽出する操作に該当。
d)c)の平均値はb)の平均値A'に収束し、分散はσ2/N(中心極限定理)の正規分布に収束する

統計処理はc)からb)を推定する処理で、A'とAの差異(これが系統誤差になるかと)は検出できないように思います。

Q四捨五入関数を用いて、床関数(ガウス記号)を表すには?

実数xに対して、床関数をガウス記号を用いて[x]と書くことにします。
実数xに対して、四捨五入した結果をf(x)とします。
すると、
f(x) = [x] + [2(x-[x])]
と表せると思います。
では逆に、[x]をf(x)を用いて表すとどうかけるのでしょうか?

周辺の話題もあれば教えてください。

Aベストアンサー

f(x) = [x] + [2(x-[x])] も正しいようですが、
f(x) = [x + 0.5] を用いたほうが
[y] = f(y - 0.5) に結びつくと思います。

Q平均誤差について

物理学の講義で判らなかったことですが、内容が数学的だったので、こちらで質問させてください。

平均誤差と確率誤差の違いが判りません。
講義で、平均誤差と確率誤差、最小二乗法、誤差の伝播の法則などを同時に教えられたので混乱しているのだと思います。
その時にとったノートは、とにかく黒板を写しただけになってしまい、何がどのことなのか判らなくなっています。
平均誤差・確率誤差を教えていただければ幸いです。
最小二乗法はなんとなく判ったので、誤差の伝播の法則はもう少し頑張ってみようと思います。

判りにくい質問文で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

平均誤差eは、誤差の絶対値の平均値であり、式で示せば
e=Σ(i=1→n)|[各測定値]i-[平均値]|/n
これは概念としては単純なのですが、計算が難しく、物理に限らず一般に統計では、あまり用いられません。

そこで登場するのが確率誤差になります。

確率誤差というのは、その誤差を超えるものが全体の50%、誤差以内が50%という境界を定義する誤差で、標準偏差のの0.674倍です。
標準偏差をσ(シグマ)、標準誤差をεと表記します。
ε = 0.674σ
標準偏差σは分散Vの平方根です。
σ=√V
V=Σ(i=1→n)([各測定値]i-[平均値])^2 /n

標準偏差は非常によく用いられる概念なので、覚えること必須です。
エクセルの基本関数の一つでもあります。
(stdなんちゃら関数です)

学力試験の統計結果で「偏差値」が用いられますが、じつは、それは、平均値を50、標準偏差が10になるように統計処理したものなんです。
ですから、偏差値で言うと、50±6.74の範囲にいる受験者が全体の50%とということになります。
56.74以上の偏差値でしたら、4人に1人の優秀者ということですね。

ちなみに、50±10、すなわち、平均値±標準偏差の範囲には、全体の約68.3%が入ります。
偏差値60以上の人は、全体の15.8%になります。

平均誤差eは、誤差の絶対値の平均値であり、式で示せば
e=Σ(i=1→n)|[各測定値]i-[平均値]|/n
これは概念としては単純なのですが、計算が難しく、物理に限らず一般に統計では、あまり用いられません。

そこで登場するのが確率誤差になります。

確率誤差というのは、その誤差を超えるものが全体の50%、誤差以内が50%という境界を定義する誤差で、標準偏差のの0.674倍です。
標準偏差をσ(シグマ)、標準誤差をεと表記します。
ε = 0.674σ
標準偏差σは分散Vの平方根です。
σ=√V
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Qにゃんこ先生の自作問題、4次関数が2つの2次関数の合成で書ける条件

にゃんこ先生といいます。

4次方程式 x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 には、難しいにゃがらも公式があり、その過程では3次分解方程式にゃどというものを解く必要があり、さらにそのために、2次方程式を解く必要があります。
結局、公式は、平方根と3乗根と四則を使ってかけることが知られています。
そこで、4次方程式が平方根(二重根号であってもよい)と四則のみを使って解ける条件を考えてみました。
同じことですが、4次方程式の係数の長さが与えられたとき、解を定規とコンパスをもちいて書ける条件です。

このとき、4次方程式は、p,q,r,sをもちいて、
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+px+q)^2+r(x^2+px+q)+s=0
と書けるはずで、両辺の3次の係数を比べることで、p=a/2とにゃらにゃければいけにゃいことがすぐに分かり、他の係数を比べて、
2q+r=b-a^2/4
2q+r=2c/a
q^2+rq+s=d
とにゃります。
よって、求めたい条件は、b-a^2/4=2c/a とにゃりました。
このとき、qを勝手に決めれば、それによってr,sが定まります。

今度は、方程式でにゃく、関数を考えます。
4次関数 y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e が2つの2次関数の合成で書けるときのa,b,c,d,eの条件はにゃんでしょうか?
また、どのようにかけるのでしょうか?

にゃんこ先生といいます。

4次方程式 x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 には、難しいにゃがらも公式があり、その過程では3次分解方程式にゃどというものを解く必要があり、さらにそのために、2次方程式を解く必要があります。
結局、公式は、平方根と3乗根と四則を使ってかけることが知られています。
そこで、4次方程式が平方根(二重根号であってもよい)と四則のみを使って解ける条件を考えてみました。
同じことですが、4次方程式の係数の長さが与えられたとき、解を定規とコンパスをもちいて書ける条件です。

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Aベストアンサー


関数とか方程式とか関係なく単なる恒等式による係数比較によって
求めたわけだから、明らかに同じやり方になるわけだが..。


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