スペクトルをvoigt関数(ローレンツ関数とガウス関数の合成積)で分解、fittingしているですが、その生の実験データとfittingした関数のデータとで面積や、ピークセンターの誤差を計算したいのですが、誰か分かりやすく教えて頂けませんか?

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A 回答 (2件)

分からないでいじくるのは感心しませんね。


中川・小柳「最小二乗法による実験データ解析」東京大学出版会 
をお勧めします。
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この回答へのお礼

お勧めの本を教えて頂いてありがとうございます。これからもいろいろとお世話になると思いますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2001/11/21 11:25

状況がよく分かりませんので自信なしですが…(というのも、難しい非線形フィッティングができる方の質問としては、どうも腑に落ちないのですが)



 ローレンツ関数とガウス関数の合成積ってことは、フィッティングしたモデルはたとえばB exp(-(x-C)^2/A)と D/(E+(x-F)^2)の畳み込み積分で表されているってことでしょうか?

 フィッティングしたモデルのピーク位置は直ちにx=C+Fと分かります。別のモデルであっても、xで微分すればピーク位置を求める公式は直ちに得られますよね。
 カーブ下面積は、フィッティングに使ったxの範囲によって裾野の部分をどこまで切り取るかで違ってきますから、実用的にはモデルを数値積分するのが手っ取り早いと思います。

 実験データの方のピーク位置は、局所的なフィッティングで決めることになるのかな?たとえば放物線とかローレンツ関数を、最大値を取るデータの付近だけにフィッティングすれば良いでしょう。カーブ下面積。これはもう、台形公式で数値積分するしかありませんね。
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この回答へのお礼

fittingといっても,パソコンでOriginというソフトを使って,根本的な部分が分からず,ただ,ボタンを押しているだけなので・・・・。大変,参考になりました。もう少し,勉強した後,再びお願いします。

お礼日時:2001/11/11 17:39

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ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数です。
---------------------------------------------
 http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Sec6.pdf
 例題6.1 (2)

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この二つの関係がよく分かりません。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。
A#1でミスプリの訂正です。
>別の「erf(x)」という関数を誤差関数と呼んでいる

>誤差関数elf(x)の数式的な関係は
> F(x)=(1/2)+(1/2)elf(x/√2)
誤差関数erf(x)の数式的な関係は
F(x)=(1/2)+(1/2)erf(x/√2)=[1/√(2π)}∫[-∞,x]e^(-x^2/2)dx
erf(x)=(2/√π)∫[0,x]e^(-t^2)dt=2F((√2)x)-1

誤差関数(error function)は 「erf(x)」と書くので差し替えておいて下さい。

補足ですが、似たような言葉を集めて見ましたので参考にして下さい。

正規分布はガウス分布とも呼ばれる。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83

ガウス積分
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86

ガウス関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E9%96%A2%E6%95%B0
正規分布関数はガウス関数の一種。

誤差関数
http://www-lab.ee.uec.ac.jp/subject/quality/error.html
正規分布、ガウス分布をさす意見もある(小数派)。
しかし、普通はerf(x)関数をさす(多数派)
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000.%93%C1%8E%EA%8A%D6%90%94%2F06000100.%8C%EB%8D%B7%8A%D6%90%94%2F10000100.%8C%EB%8D%B7%8A%D6%90%94%2Fdefault.xml
http://dl.cybernet.co.jp/matlab/support/manual/r2007/toolbox/matlab/ref/?/matlab/support/manual/r2007/toolbox/matlab/ref/erf.shtml

#1です。
A#1でミスプリの訂正です。
>別の「erf(x)」という関数を誤差関数と呼んでいる

>誤差関数elf(x)の数式的な関係は
> F(x)=(1/2)+(1/2)elf(x/√2)
誤差関数erf(x)の数式的な関係は
F(x)=(1/2)+(1/2)erf(x/√2)=[1/√(2π)}∫[-∞,x]e^(-x^2/2)dx
erf(x)=(2/√π)∫[0,x]e^(-t^2)dt=2F((√2)x)-1

誤差関数(error function)は 「erf(x)」と書くので差し替えておいて下さい。

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Aベストアンサー

ガウス(Gauss)型曲線は
(1)  G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です.中心は x=0 としています.
曲線と x 軸との間の面積 S はよく知られた公式で
(2)  S = ∫{-∞~∞} G(x) = (A/a)√π
です.
一方,ピーク値はもちろん A,
半値幅 w は,高さがピーク値の半分になる幅ですから,
x=±w/2 で G の値が A/2.
すなわち
(3)  exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で,これから
(4)  w = 2√(ln 2)/a  ⇔  a = w/2√(ln 2)
です.
(4)を(2)に代入して,ピーク値 A を考慮すればできあがり.

ローレンツ(Lorentz)型は
(5)  L(x) = B/(x^2 + Γ^2)
の形.前と同じく中心は x=0 としています.
ピーク値は x=0 とおいて B/Γ^2 ですね.
こちらも面積の積分は簡単で
(6)  S = ∫{-∞~∞} L(x) = Bπ/Γ
半値幅は
(7)  B/{(w/2)^2 + Γ^2} = (1/2) B/Γ^2
から
(8)  w = 2Γ  ⇔  Γ = w/2
(6)に(8)を代入して,ピーク値 B/Γ^2 を考慮すればできあがり.

ガウス(Gauss)型曲線は
(1)  G(x) = A exp(-a^2 x^2)
です.中心は x=0 としています.
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(2)  S = ∫{-∞~∞} G(x) = (A/a)√π
です.
一方,ピーク値はもちろん A,
半値幅 w は,高さがピーク値の半分になる幅ですから,
x=±w/2 で G の値が A/2.
すなわち
(3)  exp(-a^2 w^2 / 4) = 1/2
で,これから
(4)  w = 2√(ln 2)/a  ⇔  a = w/2√(ln 2)
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結局、公式は、平方根と3乗根と四則を使ってかけることが知られています。
そこで、4次方程式が平方根(二重根号であってもよい)と四則のみを使って解ける条件を考えてみました。
同じことですが、4次方程式の係数の長さが与えられたとき、解を定規とコンパスをもちいて書ける条件です。

このとき、4次方程式は、p,q,r,sをもちいて、
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2q+r=b-a^2/4
2q+r=2c/a
q^2+rq+s=d
とにゃります。
よって、求めたい条件は、b-a^2/4=2c/a とにゃりました。
このとき、qを勝手に決めれば、それによってr,sが定まります。

今度は、方程式でにゃく、関数を考えます。
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にゃんこ先生といいます。

4次方程式 x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 には、難しいにゃがらも公式があり、その過程では3次分解方程式にゃどというものを解く必要があり、さらにそのために、2次方程式を解く必要があります。
結局、公式は、平方根と3乗根と四則を使ってかけることが知られています。
そこで、4次方程式が平方根(二重根号であってもよい)と四則のみを使って解ける条件を考えてみました。
同じことですが、4次方程式の係数の長さが与えられたとき、解を定規とコンパスをもちいて書ける条件です。

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Aベストアンサー


関数とか方程式とか関係なく単なる恒等式による係数比較によって
求めたわけだから、明らかに同じやり方になるわけだが..。


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