数Aの範囲の『順列と組合せ』についてわからないところがあるんですす。それは順列と組合せ『nPr』と『nCr』の使い分け方です。どういった文章題の場合が『nPr』でどういった場合が『nCr』なんですか??見分け方を教えてください!!明日小テストがあるんです!!ヨロシクお願いします。。

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A 回答 (8件)

○・◇・△・×の4種類の物があるとします。

ここから2個取るだけ(取った2個の並べ方は考えません)の組み合わせは4C2となります。
すなわち
4C2=4×3/2×1=6
○・◇  ○・△  ○・×  
◇・△  ◇・×  △・×ですね。 

取った2個を並べる組み合わせの式は4P2となります。
4P2=4×3=12
○・◇の組み合わせは○・◇  ◇・○の2通りがありますよね。なので2通り×6で12通りです。

4個から3個取るだけなら4C3
4C3=4×3×2/3×2×1=4通り
3個取りそれを並べる組み合わせなら4P3
4P3=4×3×2×1=24通り
わかりましたか?
あるものからとるだけならnCr
取って並べるのも考えるならnPrです。
 ちなみに公式からの計算方法はわかりますか?
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大きく分けて、『~を一列に並べろ』『○枚のカードから○ケタの整数を作れ』など、‘並べる’系にはnPrを使い、『~から○個を取り出せ』『○人から○人を選べ』など、‘取り出す、選ぶ系’にはnCrを使います。

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説明は他の方の書き込みのとおりです。



とりあえず「取り出しただけ」が「組み合わせ」
Cはcombinationの頭文字です。

取り出した後「順番に並べる」が、「順列」
Pはpermutationの頭文字です。

質問者が高校生だと思うので、この例がわかりやすいかどうか、
ちょいと自信がないのですが…。
競馬の勝ち馬投票券(馬券のこと)で、
3連複と3連単とがあります。
3連複は「1着から3着までの3頭を、とにかく当てる(順位は無視)」
これは組み合わせ。
3連単は「1着から3着の馬を、順位通りに並んだ状態で当てる」
「並んだ」状態なので、順列です。
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僕が中学生の頃の考え方を言います。



どちらも、たくさんある中から幾つか選ぶものですが、Cは組み合わせ、Pは順列です。この言葉の
通りです。

Cは選ぶだけですが、Pは選んだものを並べるので
かならずC<Pになります。


52枚のトランプから3枚引く場合
52C3です。

52枚のトランプから3枚引いて並べる場合
52P3です。
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10人のクラスが有るとします。


1列に並ぶ並び方ならP通りです。
クラスの中から3人のクラス委員を選ぶとすると選び方はC通りです。

混乱させるかも知れませんが、クラスの中から、
学級委員長、副委員長、委員を1人づつ選ぶというのは一列に並ぶのと同じでPです。
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ごく簡単に、


  「選んで並べる」ときは順列    -順番が意味をもつ
  「ただ選ぶ」  ときは組み合わせ -順番は関係しない

 <例>A,B,C3人から2人選んで
  (1)1列に並べる並べ方は  →順列(例えば AB と BA は違う)
  (2)その2人を代表者にする →組み合わせ(例えば AB と BA は同じ)

 テスト、がんばって。
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結構問題を解いていけば簡単に分かるので、小テストが終わったら是非たくさん説いてみてください。

面白いほど良く解けるようになるはずです。

簡単に言えば並べるのか、取り出すのかという問題です。ただ並べるのに「取り出す」という言葉が使ってあるのでいやですよね。
ただ、見分け方としては、並べる場合はきちんと左から右へというおく順番(nPr)がありますが、取り出し方(nCr)には順番がないということです。
つまり、取り出すといっても、~の順番で並べろといわれたらPを使うのです。
たとえば、
 駅が21ある鉄道会社が発駅と着駅を指定する片道乗車券を作るとき、何種類の片道乗車券ができるか
 という問題であれば、発駅と着駅という順番がありますから、Pをつかいます。つまり、21個から発駅と着駅の2つを取り出すということですから21P2です。面倒なので計算は省きます。
 一方、異なる8冊から5冊の本を選ぶとき、その選び方を求めよ
 という問題であれば、特に取り出す順番はありませんから8C5です。(一応、8C5は8C3と同じですから56通りになります。)
 高1の方ですよね。であれば同じ立場です。頑張ってください。
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nPrは、異なるn個のものから、任意にr個とって1列に並べた順列の数です。


nCrはn個の異なるものから順序を考えずにr個取り出すときの総数です。
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Q順列・組合わせの記号(P、Π、C、H)について

数学の教科書なんかで、
「順列・組合わせ」という章があり、
順列の計算には nPr のようにPが、
重複順列では nΠr のように、Π が、
組合わせでは nCr のようにCが、
重複組合わせでは nHr のようにHが、
それぞれ用いられます。

Pが permutation の頭文字、
Cが combination の頭文字、
というのは分かりました。
Π と、Hは、どこからくるのでしょうか。
どなたかご存知の方、教えてください。
(Π は、permutation の p をギリシャ文字にしただけなのかな?)

英語のスレッドでもよかったのですが、
当方、一応英語が専門のくせに、分からずにいるということで、
数学専門の方にお伺いしたく、
ここに質問させていただきました。

Aベストアンサー

英語にすれば、それぞれ homogeneous product、repeated permutation で、Hはその頭文字、Πはギリシャ文字でPに対応するものです。重複組み合わせは、同次多項式(x_1+…+x_r)^nの展開係数を計算するときに現れます。同次多項式(homogeneous polynomial)がおそらく由来です。またΠは通常は積の記号として用いますので、直感的にも分かりやすいものでしょう。

ですが、これらの記号は普通は海外では用いません。たとえば二項係数は多くの場合、( )の中に上下に数を二つ並べて書きますし、あるいは、順列は(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)のように表すことが多いです。また重複順列はあまり記号法を用いる合理性がない(簡単に指数表示できる)ので、使わない方が無難でしょう。TeXのコマンドにも左下付はないので、"{}_"のように書かないといけません。こういうところにも海外で使われないということが現れています。

Q順列・組合せのnPr nCrの読み方を教えてください。

エヌ ピー アール
の順に読むのか
ピー エヌ アール
の順に読むのか分かりません。
どちらでしょうか?

出来れば参照ページのURLも教えてください。

Aベストアンサー

日本語で数式をどう読むかということについては、正式に決定されたものはありません。
文部科学省の発行する『学術用語集 数学編』にも数式の読み方の記述はありません。

http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi?refer=%BD%E7%CE%F3&info1=%BF%F4%B3%D8%CA%D4&count=1

ですから個人的な意見としてですが私は、
「permutation n r」、「combination n r」
と読んでいます。
数値が示されていれば、
「5P3」なら「pemutation 5の3」
「7C4」なら「combination 7の4」
と読んでいます。
なぜなら、
nPr が P(n,r)
nCr が C(n,r)
と記述されることもあるからです。

QPEACEの順列のうちPがCより左にあるとき

「PEACEの順列のうちPがCより左にあるような並べ方は何通りあるか」
という問題で私は
PとCをXとしXEAXEの順列として考えると
5!/ (2! * 2!)より30通りある
そのおのおのについて左側のXをPに、右側のXをCとすれば良いので
30通り…答

としたのですが解答は
5!/2!=60通り となっていました
これだとEが二つあることが考慮されていないのでおかしいような気がするのですが
解答が正しいのでしょうか?
教えてください

Aベストアンサー

貴方のほうが正解です。

全ての並べ方が 5!/2 通りですから、
求めるものは、その半分。30 通りです。

Q順列,組合せ(nCr,nPr,n!)の問題です。

5人の総当たりで,審判と卓球のダブルスの試合をするとき,何通りの組合せがありますか?
数式で表しなさい。

組合せを記述していくと
Aが審判するとき:BC対DE,BD対CE,BE対CDの3通り,A~Eの5人が審判をするので,15通りの組合せがあるのはわかるのですが,nCrなどで表現することができません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5人の中からランダムで1人審判を選び、残りの4人から片チーム2人選び出し、反対チーム分が重複しているところを減らすために2で割るという風に考えると、
5x(4C2)/2=5*4!/(2!2!)/2=5*3=15
かな。

Q順列のP

確立計算で、組み合わせはC(combination)ですが順列のPは何の頭文字なのでしょうか。

Aベストアンサー

Permutation です。

Q数A;場合の数(nPrとnCrの違いについて)

男子10人、女子5人の中から合計三人の代表を選ぶ方法は何通りか。
この問題ですが、答えでは15C3なんですが、15P3ではなんでダメなんでしょうか?
まずnCrとnPrの違いが自分にはよくわかりません。
Cの方は「異なるn個の物からr個取り出して並べる」
Pの方は「異なるn個の物からr個取り出して、一列にならべる」
一列という点で違うだけなんでしょうか?
Cの方は「自動的に並べる」みたいな意味も含まれているみたいですが、ただそれだけでじゃぁこの問題では一体なんでnPrの方で解いてはいけないのでしょうか?
詳しくお願いします。

Aベストアンサー

15P3だと、例えば
A君、Bさん、Cさん

A君、Cさん、Bさん

Bさん、A君、Cさん

Bさん、Cさん、A君

Cさん、A君、Bさん

Cさん、Bさん、A君
という3人の選び方を「順序づけて、別物として」扱うわけです。
ところが、15人の中から3人を選ぶ、という行為において、
3人を選ぶ「順序」は関係ないですね。
A君、Bさん、Cさんの順に選ぼうが
他の順序で選ぼうが、その3人を選ぶことには変わりがないわけです。
これが、当該の問題において順列ではなく組合せを使う理由です。

Q順列のPについて

高校の数学教員をやっている者です。順列の授業で、Permutationを出来るだけ教えないで解く方法がありますが、これを使うと、Permutationがいらないのでは、と考えてしまいます。なぜ、Pという記号が高校数学で紹介されるのでしょうか。どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

数学教育については全くわかりませんが.
基本的に,数学というのは,物事を極限まで抽象化していくという学問です.Pという記号を使うことで,もともとの順列という意味から全く離れて,完全な抽象的な記号として扱えます.こうすることで,もとの意味から離れた自由な発想が可能になります.
高校の授業でPという記号を使うのも,数学のそういう側面を,ちょっとでも体感させたいって思いがあるのではないでしょうか.

例えば,sinという記号を三角形の斜辺と底辺の比なんて思っていたら,オイラーの公式とかが生まれる余地はありません.

Q高一数A 順列の総数の公式で nPr=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1) というものがありま

高一数A

順列の総数の公式で
nPr=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)
というものがありますよね。最後が(n-r+1)になる意味が分かりません。

説明お願いしますm(_ _)m

Aベストアンサー

nPr は、n 個から r 個とった順列です。

1 個目 ••••• n 通り
2 個目 ••••• n-1 通り
3 個目 ••••• n-2 通り
4 個目 ••••• n-3 通り
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・

規則性を考えれば
r 個目 ••••• n-(r-1) 通り
に、なりませんか?
なので、
n-(r-1)=n-r+1
になります。

Q順列:CとP

例えば、「4人の男と3人の女を一列に並べる。女が隣り合うことがない場合は何通りあるか」という問題であれば、
まず男を並べ(4!通り)、
○男○男○男○男○
5つの○から3つの○を選び、そこに女を入れていき(5P3通り…★1)、
答えは4!×5P3通りとなりますよね。

しかし、「7文字、aa,bb,cccについて、一列に並べる。2つ以上cが連続しない並べ方は何通りあるか。」という問題になれば、
まず、aとbを並べ(4!/2!2!通り)、
○a○a○b○b○
5つの○から3つの○を選び、そこにcを入れ(5C3通り・・・★2)、
答えは4!/2!2!×5C3通りとなりますよね。

人は区別され、アルファベットは区別されない、ということですが、そもそもCとPの定義は「異なるn個のものから『r個選んで並べる(P)』、『r個選ぶ(C)』」だったはずです。
なので、この場合CとPどっちを使ったとしても、人は区別されてるしアルファベットも区別されてますよね?
★1と★2でそれぞれCとPを使い分ける理由がわかりません。
わかり易く解説できる方お願いします。

例えば、「4人の男と3人の女を一列に並べる。女が隣り合うことがない場合は何通りあるか」という問題であれば、
まず男を並べ(4!通り)、
○男○男○男○男○
5つの○から3つの○を選び、そこに女を入れていき(5P3通り…★1)、
答えは4!×5P3通りとなりますよね。

しかし、「7文字、aa,bb,cccについて、一列に並べる。2つ以上cが連続しない並べ方は何通りあるか。」という問題になれば、
まず、aとbを並べ(4!/2!2!通り)、
○a○a○b○b○
5つの○から3つの○を選び、そこにcを入れ(5C3通り・・・★2)、
答えは4!/...続きを読む

Aベストアンサー

次のように考えましょう。

<アルファベットの場合>
cが入れる場所、つまり○は5つある。まずその5つからcが入る3つを選ぶ(5C3)。cは区別できないので、答えは5C3通り。

<人の場合>
女が入れる場所、つまり○は5つある。まずその5つから女が入る3つを選ぶ(5C3)。その上で、その三か所に女を並べる(3P3)。つまり、女の並べ方は5C3×3P3=5P3。

これでどうでしょうか。

Q高1数Aの順列の公式の意味がわかりません。 nPr=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)=n!

高1数Aの順列の公式の意味がわかりません。
nPr=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)=n!/(n-r)!
のn-r+1の意味と、n!/(n-r)の意味を教えていただきたいです。

Aベストアンサー

一番最初の n は、(nー0) で第一項で、第二項は、(nー1)ですから、第 r 項なら (nーr+1)
になりますね!つまり、nー0と0から始まっていて、1からではないからですね!
n ❗/ (nーr)❗は、わかりましたか?
n❗=n(nー1)(nー2)…(nーr+1)(nーr)(nーrー1)(nーrー2)…
(nーr)❗=(nーr)(nーrー1)(nーrー2)…
であり、
n❗で、(nーr)(nーrー1)(nーrー2)…つまり、(nーr)❗が重複しているので、
割ると、
n(nー1)(nー2)…(nーr+1)(nーr)(nーrー1)は、n❗/(nーr)❗になりますね!


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