数Aの範囲の『順列と組合せ』についてわからないところがあるんですす。それは順列と組合せ『nPr』と『nCr』の使い分け方です。どういった文章題の場合が『nPr』でどういった場合が『nCr』なんですか??見分け方を教えてください!!明日小テストがあるんです!!ヨロシクお願いします。。

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A 回答 (8件)

○・◇・△・×の4種類の物があるとします。

ここから2個取るだけ(取った2個の並べ方は考えません)の組み合わせは4C2となります。
すなわち
4C2=4×3/2×1=6
○・◇  ○・△  ○・×  
◇・△  ◇・×  △・×ですね。 

取った2個を並べる組み合わせの式は4P2となります。
4P2=4×3=12
○・◇の組み合わせは○・◇  ◇・○の2通りがありますよね。なので2通り×6で12通りです。

4個から3個取るだけなら4C3
4C3=4×3×2/3×2×1=4通り
3個取りそれを並べる組み合わせなら4P3
4P3=4×3×2×1=24通り
わかりましたか?
あるものからとるだけならnCr
取って並べるのも考えるならnPrです。
 ちなみに公式からの計算方法はわかりますか?
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大きく分けて、『~を一列に並べろ』『○枚のカードから○ケタの整数を作れ』など、‘並べる’系にはnPrを使い、『~から○個を取り出せ』『○人から○人を選べ』など、‘取り出す、選ぶ系’にはnCrを使います。

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説明は他の方の書き込みのとおりです。



とりあえず「取り出しただけ」が「組み合わせ」
Cはcombinationの頭文字です。

取り出した後「順番に並べる」が、「順列」
Pはpermutationの頭文字です。

質問者が高校生だと思うので、この例がわかりやすいかどうか、
ちょいと自信がないのですが…。
競馬の勝ち馬投票券(馬券のこと)で、
3連複と3連単とがあります。
3連複は「1着から3着までの3頭を、とにかく当てる(順位は無視)」
これは組み合わせ。
3連単は「1着から3着の馬を、順位通りに並んだ状態で当てる」
「並んだ」状態なので、順列です。
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僕が中学生の頃の考え方を言います。



どちらも、たくさんある中から幾つか選ぶものですが、Cは組み合わせ、Pは順列です。この言葉の
通りです。

Cは選ぶだけですが、Pは選んだものを並べるので
かならずC<Pになります。


52枚のトランプから3枚引く場合
52C3です。

52枚のトランプから3枚引いて並べる場合
52P3です。
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10人のクラスが有るとします。


1列に並ぶ並び方ならP通りです。
クラスの中から3人のクラス委員を選ぶとすると選び方はC通りです。

混乱させるかも知れませんが、クラスの中から、
学級委員長、副委員長、委員を1人づつ選ぶというのは一列に並ぶのと同じでPです。
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ごく簡単に、


  「選んで並べる」ときは順列    -順番が意味をもつ
  「ただ選ぶ」  ときは組み合わせ -順番は関係しない

 <例>A,B,C3人から2人選んで
  (1)1列に並べる並べ方は  →順列(例えば AB と BA は違う)
  (2)その2人を代表者にする →組み合わせ(例えば AB と BA は同じ)

 テスト、がんばって。
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結構問題を解いていけば簡単に分かるので、小テストが終わったら是非たくさん説いてみてください。

面白いほど良く解けるようになるはずです。

簡単に言えば並べるのか、取り出すのかという問題です。ただ並べるのに「取り出す」という言葉が使ってあるのでいやですよね。
ただ、見分け方としては、並べる場合はきちんと左から右へというおく順番(nPr)がありますが、取り出し方(nCr)には順番がないということです。
つまり、取り出すといっても、~の順番で並べろといわれたらPを使うのです。
たとえば、
 駅が21ある鉄道会社が発駅と着駅を指定する片道乗車券を作るとき、何種類の片道乗車券ができるか
 という問題であれば、発駅と着駅という順番がありますから、Pをつかいます。つまり、21個から発駅と着駅の2つを取り出すということですから21P2です。面倒なので計算は省きます。
 一方、異なる8冊から5冊の本を選ぶとき、その選び方を求めよ
 という問題であれば、特に取り出す順番はありませんから8C5です。(一応、8C5は8C3と同じですから56通りになります。)
 高1の方ですよね。であれば同じ立場です。頑張ってください。
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nPrは、異なるn個のものから、任意にr個とって1列に並べた順列の数です。


nCrはn個の異なるものから順序を考えずにr個取り出すときの総数です。
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Q順列・組合せのnPr nCrの読み方を教えてください。

エヌ ピー アール
の順に読むのか
ピー エヌ アール
の順に読むのか分かりません。
どちらでしょうか?

出来れば参照ページのURLも教えてください。

Aベストアンサー

日本語で数式をどう読むかということについては、正式に決定されたものはありません。
文部科学省の発行する『学術用語集 数学編』にも数式の読み方の記述はありません。

http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi?refer=%BD%E7%CE%F3&info1=%BF%F4%B3%D8%CA%D4&count=1

ですから個人的な意見としてですが私は、
「permutation n r」、「combination n r」
と読んでいます。
数値が示されていれば、
「5P3」なら「pemutation 5の3」
「7C4」なら「combination 7の4」
と読んでいます。
なぜなら、
nPr が P(n,r)
nCr が C(n,r)
と記述されることもあるからです。

Q順列,組合せ(nCr,nPr,n!)の問題です。

5人の総当たりで,審判と卓球のダブルスの試合をするとき,何通りの組合せがありますか?
数式で表しなさい。

組合せを記述していくと
Aが審判するとき:BC対DE,BD対CE,BE対CDの3通り,A~Eの5人が審判をするので,15通りの組合せがあるのはわかるのですが,nCrなどで表現することができません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5人の中からランダムで1人審判を選び、残りの4人から片チーム2人選び出し、反対チーム分が重複しているところを減らすために2で割るという風に考えると、
5x(4C2)/2=5*4!/(2!2!)/2=5*3=15
かな。

Q数A;場合の数(nPrとnCrの違いについて)

男子10人、女子5人の中から合計三人の代表を選ぶ方法は何通りか。
この問題ですが、答えでは15C3なんですが、15P3ではなんでダメなんでしょうか?
まずnCrとnPrの違いが自分にはよくわかりません。
Cの方は「異なるn個の物からr個取り出して並べる」
Pの方は「異なるn個の物からr個取り出して、一列にならべる」
一列という点で違うだけなんでしょうか?
Cの方は「自動的に並べる」みたいな意味も含まれているみたいですが、ただそれだけでじゃぁこの問題では一体なんでnPrの方で解いてはいけないのでしょうか?
詳しくお願いします。

Aベストアンサー

15P3だと、例えば
A君、Bさん、Cさん

A君、Cさん、Bさん

Bさん、A君、Cさん

Bさん、Cさん、A君

Cさん、A君、Bさん

Cさん、Bさん、A君
という3人の選び方を「順序づけて、別物として」扱うわけです。
ところが、15人の中から3人を選ぶ、という行為において、
3人を選ぶ「順序」は関係ないですね。
A君、Bさん、Cさんの順に選ぼうが
他の順序で選ぼうが、その3人を選ぶことには変わりがないわけです。
これが、当該の問題において順列ではなく組合せを使う理由です。

QnCr 組合せ数字からの順位の逆算

1~100までの3つの数字の組合せでは、

1番目  1、2、3
2番目  1、2、4
  ・
  ・
  ・
161700番目 98,99,100

となりますが、任意の3つの組合せ数字が何番目なのかを求める方法はあるのでしょうか?

このケースでは、2、3、4の組合せは4951番目になる。というような事です。
これは単純に 100C2 + 1 で計算しました。

このようにnとrの数値を変えて加算していけばできそうな気もするのですが繰り返し計算が多すぎて混乱しています。
もっとシンプルな方法はないのでしょうか?

Aベストアンサー

何かうまいやり方がありそうな気もしますが…

素直にやれば
一番小さい数がiであるのは他の2数を考えて
(100-i)C2通り
一番小さい数がiで二番目がjであるのは
(100-j)C1通り

(k,l,m)(k<l<m)の前に来るのは
(一番目がk未満のもの)
+(一番目がkで二番目がl未満のもの)
+(一番目がkで二番目がlで三番目がm未満のもの)
=Σ[i=1,k-1](100-i)C2+Σ[j=k+1,l-1](100-j)C1+(m-l-1)

(※k=1のときは最初のΣを0、l=k+1のときは二項目のΣを0とする)

展開整理することは可能ですが簡単にはならないと思います
(最初の例は99C2+1かと)

Q順列と組合せです

10人を1列に並べるとき、特別の3人A,B,Cがこの順に現れる並び方なんですが・・・なんで「10!/3!」になるのかがわかりません。
どなたかお願いします。

Aベストアンサー

まず,この問題の意味ですが,

質問者さんの言っている場合の例は,
   ・・ABC・・・・・  とか
   ・・・ABC・・・・  とかに限らず,
   ・・・AB・C・・・  とか
   A・・B・・・・C・  とかというような場合も含めている,
と思われますので,答えは 10!/3! 通り で合っている
と思います.

答えの説明の仕方は色々とあると思いますが,例えば,
10人 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
の中の特定な3人 A,B,C は,
   ・・A・・B・C・・
というように現れるのですから,
これらが現れる3ヵ所の場所さえ決まれば,
A,B,C のそれぞれの位置は決まってしまいます!

つまり,A,B,C は,入る3ヵ所の場所さえ決まれば
決まってしまうので,3つの文字の区別をなくして,例えば,
10個の文字 X,X,X,C,D,E,F,G,H,I,J
を1列に並べる,と考えればよい訳です!

すると,「同じものを含む順列」の考え方で,
まず同じもの X 3つを区別して,並べると
  10! 通り.
としておいて,これら3つの X の区別をなくすために,
3! 通りで割って,
  10!/3! 通り
が答えとなります.

なお,この値は,10人を条件に合ったように1列に並べるのに,
 「まず,A,B,C の3人が(この順番に)並ぶ場所(10C3 通り)
  を決めてから,
  残りの7ヵ所に残りの7人を並べる並べ方を考える.」
と考えて,
  10C3 * 7! 通り
と表すこともできます.

まず,この問題の意味ですが,

質問者さんの言っている場合の例は,
   ・・ABC・・・・・  とか
   ・・・ABC・・・・  とかに限らず,
   ・・・AB・C・・・  とか
   A・・B・・・・C・  とかというような場合も含めている,
と思われますので,答えは 10!/3! 通り で合っている
と思います.

答えの説明の仕方は色々とあると思いますが,例えば,
10人 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
の中の特定な3人 A,B,C は,
   ・・A・・...続きを読む


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