well-definedについて

ある問題集に以下のことが書かれていました。
「整数ａのｍを法とする剰余類は
[ａ]＝｛ｘ｜ｘ≡ａ（mod m)｝とする。
また、Z/mZ={[x]m|x∈Ｚ}とする。
ａ，ｂ∈Ｚ、剰余類に加法＋を定義する：
[ａ]＋[ｂ]＝[ａ＋ｂ]
これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算＋はwell-definedである。」

ここで何故「これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算＋はwell-definedである。」
といえるのですか？
よく意味が分かりません。教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2005/10/11 20:38

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。

やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです。

さて、(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')です。
いま、aもa'もともに同じ剰余類[a]に属していますから、mで割った余りは等しい。
したがって(a-a')|mです。つまりmで割り切れる。
同様に(b-b')もmで割り切れます。
つまり、(a+b)-(a'+b')はmの倍数なわけです。
したがって、a+bとa'+b'は同じ剰余類に属します。
すなわち[a+b]=[a'+b']という分けです。

これは合同式の演算の正当化でもあります。
x≡y　(mod m)
z≡w　(mod m)
であれば、
x+z≡y+w　(mod m)
というものです。余りだけ見るのだから、
余りが等しいものなら何で計算してって一緒（well-defined！）
というわけですね。

この回答への補足

考えてみたのですが、
[ａ]＝[ａ’]、[ｂ]＝[ｂ’]のとき
ａ＝ａ’＋ｍｎ、ｂ＝ｂ’＋ｍｋ（ｎ、ｋは整数）
[ａ]＋[ｂ]＝｛ａ’＋ｍｎ｜ｎは整数｝＋｛ｂ’＋ｍｋ｜ｋは整数｝
≡ａ’＋ｂ’（mod m）
≡ａ＋ｂ　（mod m)
≡｛（ａ＋ｂ）＋ｍｔ｜ｔは整数｝
＝[ａ＋ｂ]
[ａ]＋[ｂ]＝[ａ＋ｂ]と集合で表すことも可能ですか？

補足日時：2005/10/11 20:42

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2005/10/12 14:58

先の質問もあるので一点だけ。

> [ａ]＋[ｂ]＝[ａ＋ｂ]

これは定義であることに注意しないといけない。
[ａ]＋[ｂ]は定義なしでもできる演算ではなく、新たに定義したものである。
従ってNo.2の補足に書いたような記述は順番が間違っている。
[ａ＋ｂ]の演算が[ａ]や[ｂ]の代表元ａ、ｂの取り方に依存しないことを言ってから初めて[ａ]＋[ｂ]が定まるのである。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
なんとか解決に至ることができました。

お礼日時：2005/10/12 23:28

No.1 回答者： kochory 回答日時： 2005/10/11 19:55

well-definedの意味はわかっているのでしょうか？

上記の定義が代表元の選び方に依存しないのであれば、
どのようなa,bに対しても
[a]+[b]=[a+b]
という定義だけで+という演算を曖昧さなしに定義でき、
それ以上付け加えることがなにもないので、
+はwell-definedだ（はっきり定義されている）と
言っているだけだと思いますが。

この回答への補足

すみません、何故、代表元の選び方に依存しないのですか？

補足日時：2005/10/11 20:09