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電束・電束密度の定義とは何ですか?ガウスの法則とも結びつくのですか?

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A 回答 (2件)

 


  貴方が高校生なのか、大学生なのかで答え方が違ってきます。
  また、わたしも古いことで、よく分かりません。
 
  次のように述べて分かるでしょうか?
 
  MKSA単位系で:
 
  電束密度D(ヴェクトル関数です)=ε0E+P
  ここに、Eは電場、ε0は、真空中の誘電率、Pは電気分極(ヴェクトル関数)。
  これは、何を意味するかというと、Pがゼロの時、D=ε0E となります。つまり、電場に、空間の誘電率をかけたものが電束密度ということになります。これは真空中での電束密度の定義です。Pは何かと云うと、電場Eによって、誘電体(絶縁物質)に導かれる誘電の分極モーメントです。

  電束は、或る曲面Sを考えると、この曲面の微少領域dSにおいて、この微少領域面に垂直なDの要素(つまり、垂直線へのDの射影)をDnとすると、Dn・dSの「面S上での面積分」です。これは、面Sを通過する電束密度の面に対し垂直な要素の面積分ということになります。簡単に、面Sを平面として、Dが、丁度Sに垂直だとすると、dS・Dの面S全体での積分です。
 
  ガウスの法則とは何のことを指すのか分かりませんが、もし、微分形で、
  divE=ρ
  のことなら、(積分形では、或る閉じた曲面Sを考え、そのなかのdivEの体積積分と、Eの面Sにおける面積分が等しいという法則のことなら。ρは、電荷密度)
 
  divD=ρ ですから
  式の上で、連関していることは明らかです。
  (これらは、マクスウェルの方程式を構成する式の一部です)。
 
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この回答へのお礼

お礼が遅くなってすみません。解答ありがとうございました。一応、大学生なのですが、高校時代には物理はあまりやっていなかったので苦手です。
この解答をもとにもう一度考えてみます。

お礼日時:2001/11/27 23:49

電束密度と電束の定義は starflora さんの書かれているとおり.


ガウスの法則との関連は積分形で
(1)  ∫_{S} D・dS = Σ(閉曲面S内の真電荷の総和)
積分は閉曲面Sに関する面積分,D も dS もベクトルです.
なお,E に関するガウスの法則は
(2)  ε_0 ∫_{S} E・dS = Σ(閉曲面S内の電荷の総和)
この電荷は真電荷も分極電荷も含みます.

つまり,電束密度の源は真電荷のみですが,
電場の源は電荷なら何でもということです.

ところで,chemostry さん,
質問内容からすると,大学理工系1年くらいの内容ですよね.
電束密度の定義などがテキストに載っていないとは思えないのですが,
ご自分で調べられたのでしょうか?
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この回答へのお礼

解答ありがとうございました。まさに大学理工系1年の内容なのですが、履修している物理学系の科目にはテキストが存在しません。そのため何を調べたらよいのか分からず質問をすることにしました。

お礼日時:2001/11/27 23:56

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表題について、条件として長さLの同心円筒電極間に2種類の誘電率ε1、ε2をもつ誘電体が満たされている。内電極に+Q、外電極に-Qを与えた。
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Aベストアンサー

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問題(2):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h21/riron/h21r_no02.html
解答(2):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h22/riron/h22r_no02_kaisetsu.pdf
問題(3):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h21/riron/h21r_no17.html
解答(3):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h21/riron/h21r_no17_kaisetsu.pdf

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均一な電界なら、どちらも同じです。
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回答としては、両者に違いはありません。
どちらで算出しても、電界の強さは同じです。
コンデンサーの電界の計算の場合は、電極間の電位差と極板間の距離がわかるのであれば、E=V/dで算出すればいいわけです。
コンデンサーの電極間に直列に誘電率の違う誘電体が挟まれている場合は、誘電体間の電位差が異なりますから、電束密度が一定である事を利用して、誘電体間の電位差を計算して、コンデンサー内の電界の強さの勾配を計算できます。
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Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

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 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
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こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?

Q同心球導体球の接地について

同心球導体球の接地について、過去に質問されていなかったのでおねがいします。
同心球導体球において、外側の球に電荷Qを与え、内側の球を接地した場合、電界はどのようになるのでしょうか?
(内側の球の半径a、外側の球の内径b、外径cです。)
回答は、
a<r<b、c<rの場合についてお願いします。

Aベストアンサー

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷) + Q - Q'(外側の球の表面電荷) = Q - Q'
  半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε → E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
  半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r~∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
  外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

  内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
  半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε → E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
  半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r~b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
  式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
  内側の球は接地されているので、V2(a) = 0  →  ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
  したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

(3)電界分布
  式[3]を式[1],[2] に代入すれば
  E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(4)まとめ
  a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  c<r  のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷...続きを読む

Q平行平板コンデンサの電界の強さについて

おつかれさまです。

平成22年 電験三種問題です。

当問題で、間隔内が①空気 と ②固体 があります。

それぞれ、電束密度は同じですが、電界の強さは違うということで、E=V/d は使用できないと思っています。

しかし、この問題(内部電界を求める時)で、使用しています。

問題末文に端効果は無視と書かれてあるのですが、
この文字があるせいで、使用できるようになっているのでしょうか?

Aベストアンサー

No.2です。「補足」に書かれたこと。

>よくある別問題で、コンデンサ間に物を入れたときがあります。
>それは、コンデンサ間で電荷量が違うからE=V/d は使えないのですね

 いろいろなケースがあるので、一概には言えませんね。

 単に「電源に接続したコンデンサ間に誘電率の異なるものを入れた」のであれば、誘電率の変化に伴って電荷が供給されたり減ったりして、電荷量が変わります。このときには、電圧「V」は変わらないので、「E=V/d 」は一定です。

 電源からのスイッチを切って、電荷の増減がない状態で「コンデンサ間に誘電率の異なるものを入れた」のであれば、電荷量が一定で、「電圧:V」が変わります。

 「コンデンサ間に誘電率の異なるものを『不均一に』入れた」場合には、また様子が異なります。電極の面積の一部に入れた場合には、「誘電体の異なる2つのコンデンサーの並列接続」とみなせますし、電極間の「厚さ方向の一部」に入れた場合には、厚さ方向で電界強度が異なる部分ができることになります。

 「E=V/d 」の関係が使えるケースと使えないケースがあるので、起きている現象を正しく識別することが大事です。

 いずれにせよ、使うのは

   Q = C * V
   C = ε * S / d  (S:コンデンサーの断面積)
   E = V / d

であり、電荷 Q が一定か、電圧 V が一定か、誘電率 ε がどこに影響してくるか、ということです。

No.2です。「補足」に書かれたこと。

>よくある別問題で、コンデンサ間に物を入れたときがあります。
>それは、コンデンサ間で電荷量が違うからE=V/d は使えないのですね

 いろいろなケースがあるので、一概には言えませんね。

 単に「電源に接続したコンデンサ間に誘電率の異なるものを入れた」のであれば、誘電率の変化に伴って電荷が供給されたり減ったりして、電荷量が変わります。このときには、電圧「V」は変わらないので、「E=V/d 」は一定です。

 電源からのスイッチを切って、電荷の増減...続きを読む

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む


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