整数の加法減法乗法について

整数同士の加法　減法　乗法は整数になることは直感ではわかるのですが　厳密に証明することが出来ません。
ご回答のほど　よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2005/11/02 10:34

おおざっぱに言えば、証明はとても困難です。

もともと、「整数」というのは、和（加法）と積（乗法）について、「閉じている（＝整数同士の和と積はやはり整数である）」ように定義されているからです。
（差は、整数の世界では「和」と同じなのでとりあえず無視）

そして、この定義が正しいか（このように定義しても無人しないか）を証明するのはとても難しいお話です。

No.4 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/11/06 14:44

数学も突き詰めれば直感に頼らざるを得ない部分があると思いますが、現代数学では公理系から証明されています.ただそれは他の方の回答にも

あるように高校で理解できる内容ではないみたいです.一番労力の少ないと思われる構成方法は実数を体として定義して自然数をその最小継承的部分集合と定義することでしょう.その場合、自然数も体の要素だから交換法則など満たすことはほぼ自明です.

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2005/11/02 12:39

この場合、まず、整数（有理整数）とは何か、ということが明確になっていないと、厳密な定義は不可能です。

普通はペアノの公理が使われますね。次に負の整数の定義を行います。その後、加法、乗法の定義の順に進みます。ここまでできれば、厳密に証明することができるはずです。

No.2 回答者： pascal3141 回答日時： 2005/11/02 12:13

２つの整数の、小数点以下は、どちらも０なので、その和も０に成るため、２つの整数の加法は、整数になる。

ということではだめでしょうか。それがＯＫなら、減法は＃１さんの言うとおりで、乗法は、加法をくりかえした物なので、成り立つことが言えますが。