すみませんが質問です。
やかんに入れた水を火熱して沸騰するまでの
時間を数式で表したいのですが組み立てられなくて困っています。

一次遅れの系に従うらしいのですが、
水量、体積、表面積などの要素を使って
表したいのですが、手こずっています。

どなたか、知っておりましたらヒント、または
参考資料でもいいので教えてくださいませんか?

A 回答 (2件)

 


  まず、幾つかの、熱源や加熱の実際のありよう、やかんの特性など、数式にするには、足らないデータがあります。
 
  やかんに、純粋に加わる熱量が安定して確定しているという条件を付けねばなりません。熱源からの熱の70%がやかんに加わるとすれば、熱源の1秒当たりの放射熱の量は一定になります。また、やかんが熱くなってきても、やかんの受け取る熱量は変化しないと仮定しなければなりません。無論、変化してもよいのですが、その場合、どういう条件で、どう変化して行くのか分かっていないといけません。
 
  また、熱伝導による熱拡散現象は、微分方程式があったと思いますが、このやかんの場合、加熱と共に起こる水の温度上昇に伴い、やかんのなかの水または湯が対流を起こします。しかし、この対流は、やかん底面の熱源の配置で、色々と変化して来るはずで、定常的な対流というものは、どういうものか分かりません。従って、対流の要素は無視するか、貴方が式を考えてください。
 
  更に、やかんの表面からの熱拡散が起こりますが、これは、空気との伝道によるものと、赤外線等での放射に分かれます。これは明らかに、水・やかんの温度に相関します。これも、どういう式になるのか、自分で調べてください。
 
  そこで、熱源から、やかんに加わる熱は、一定で、一秒当たりQとします。やかんのなかの最初の水の温度は、T0とします。水量をW、やかんの内部体積をV、やかんの表面積をSとします。
 
  簡単にまず、(100 - T0)*W=QFe
  で、100度になるまでの時間Feが出てきます。
  やかんからの熱放射欠損を、単位面積当たりqとすると、qは温度の関数になるはずです。
  温度 T=T0+t*W/Q
 
  そこで、q(T0+t*W/Q) となります。
  従って
  (100 - T0)*W=Qt-Sq(T0+t*W/Q)
  qが、単純なtの関数で表現できれば、これは普通の代数方程式になります。
  しかし、やかんですから、やかんの口からも空気対流で温度が逃げ出します。
  また、Qも温度に依存するとなると、式に、依存関係を代入することです。
  ただそうなると、普通の代数方程式ではなく、微分方程式になる可能性が高いです。
 
  大体、こんな不定項の多い問題はおかしいので、一定のモデル化がされているはずです。貴方が高校生だというなら、普通の代数方程式でよいのでしょうが、「一次遅れの系」とか言っているのを見ますと、大学生のように思えます。なら、微分方程式を解くことになるのでしょう。そして解き方は、授業で出てきているはずです。
 
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この回答へのお礼

一連の流れがよくわかりました。
もうすこし考えてみます。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/12/14 22:20

イメージとしては電気回路で考えるとわかりやすいのでは?



電荷に対して電流があり、容量があり抵抗があるように
熱量に対して熱流があり、熱容量があり、熱抵抗があります。
(要はいつでも成り立つ保存則に
 線型な伝搬係数を仮定しているということだと思います。)

細かいところはわかりません。ごめんなさい。
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この回答へのお礼

一度考えてみます。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/12/14 22:06

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等加速度運動の公式より
(v1)^2-(v2)^2=2adx
運動方程式にv=(v1+v2)/2を代入して
v1+v2=2ma/K
また、dv=v2-v1より
(v2)^2-(v1)^2
=(v2-v1)(v2+v1)
=2madv/K=2adx
∴ dv=(K/m)dx

この結果が意味するのは「運動方程式が ma=Kvで表される物体の運動は等加速度運動である」ということなのでしょうか?

Aベストアンサー

(1)
ma=Kvにa=dv/dt, v=dx/dtを代入して
mdv/dt=Kdx/dtの両辺にdtをかけて
mdv=Kdx
∴ dv=(K/m)dx


(2)
この運動が等加速度運動だと仮定し、ある時刻における物体の速度をv1, 微小時間dt後の物体の速度をv2, 微小時間dt内に物体が動く距離をdxとおきます。
等加速度運動の公式より
(v1)^2-(v2)^2=2adx
運動方程式にv=(v1+v2)/2を代入して
v1+v2=2ma/K
また、dv=v2-v1より
(v2)^2-(v1)^2
=(v2-v1)(v2+v1)
=2madv/K=2adx
∴ dv=(K/m)dx

(1)は微積の正当な手法

対して(2)では「この運動が等加速度運動である」という明らかに誤った前提を盛り込んでいるにもかかわらず
結果が(1)と矛盾しない。
矛盾しないのだから「この運動が等加速度運動である」という仮定は否定されない。

そういうことかな?

でも結局のところ微小時間dtの間だけ「等加速度運動と見なせる」と言ってるだけで
運動全体が等加速度である必要性が無いでしょ。
仮に微小時間dtの間だけ「等速直線運動」と置いたって微分方程式は成立するわけだし。

対局的なtに対して、a(t)=aだと言っているのではなくて
極限に小さな区間t1~t2の間に対して、a((t1+t2)/2)=aであると言っているわけで。


いつも思うが、ここの回答者は読解力が足りない。
No.2はまだしもNo.1とかホント論外
等加速度運動なわけがなかろうが。

(1)
ma=Kvにa=dv/dt, v=dx/dtを代入して
mdv/dt=Kdx/dtの両辺にdtをかけて
mdv=Kdx
∴ dv=(K/m)dx


(2)
この運動が等加速度運動だと仮定し、ある時刻における物体の速度をv1, 微小時間dt後の物体の速度をv2, 微小時間dt内に物体が動く距離をdxとおきます。
等加速度運動の公式より
(v1)^2-(v2)^2=2adx
運動方程式にv=(v1+v2)/2を代入して
v1+v2=2ma/K
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 この絵をお借りしましょう。
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/image/aptri23.gif

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  円周長さ = 半径・dθ = (D/2)dθ  …(1)
はち巻きの長さは
  鉢巻き長 = 2π・半径 = 2π・(D/2)sinθ = 自分で
はち巻きの面積は
  鉢巻面積 = 幅・長さ = 自分で  …(3)

この面積を足し合わせれば求める面積がになります。そのためには ギザギザが無視できるように dθ が非常に小さいとします。こうすれば数学の積分と同じになります。

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あとは代入するだけです。面倒がらずに。
質問があったら補足に書いてください。
 
 

 
 
 この絵をお借りしましょう。
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/image/aptri23.gif

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はち巻きの長さは
  鉢巻き長 = 2π・半径 = 2π・(D/2)sinθ = 自分で
はち巻きの面積は
  鉢巻面積 = 幅・長さ = 自分で  …(3)

この面積を足し合わせれば求める面積がになります。そのためには ギザギザが無視できるように dθ が非常に小さいとします。こうすれば数学の積分と同じにな...続きを読む


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