空間のヘロンの公式？？

三角形の３辺が分かっていれば、ヘロンの公式で面積が求まるように、６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられただけで四面体の体積(三角錐)を求められるということを知りました。調べたところ、下記のような式で表されるようです。（空間のヘロンの公式？）

　しかし、これを示す方法が分かりません。どうやって証明したら良いのか困っています。もしよろしければ教えていただければ幸いです(長ければ指針などでも有難いですm(_ _)m)

（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2－ａ^2－ｄ^2)＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2－ｂ^2－ｅ^2）＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2－ｃ^2－ｆ^2）－ａ^2ｂ^2ｃ^2－ａ^2ｅ^2ｆ^2－ｄ^2ｂ^2ｆ^2－ｄ^2ｅ^2ｃ^2

No.2 ベストアンサー 回答者： ojisan7 回答日時： 2005/12/17 21:43

計算で求める、一番わかりやすい方法は、やはり、ベクトルを使うことだと思います。

平行六面体の体積は、よく知られているように、スカラー三重積ですね。
平行六面体の一つの頂点Ｐから出る３本の稜をベクトルでA,B,Cとしたとき、この平行六面体の体積Ｖは、
Ｖ＝A・(B×C)
となります。四面体の体積は図を描いてみればわかるように、Ｖ/6 です。このあとは,A,B,Cを六辺の長さa,b,c,d,e,fで表せばよいだけです。


別解として、グラム行列式（グラミアン）を使う方法もありますが、これも、同じことです。

この回答へのお礼

なるほどわかりました！両方の解放納得できました！ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2005/12/22 08:28

No.1 回答者： edomin 回答日時： 2005/12/15 14:32

ここの中間より少し下に「空間のヘロンの公式」の解説があります。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/320_ …

参考URL：http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/320_ …

この回答へのお礼

早速見て自分でもやってみました！ありがとうございます！

お礼日時：2005/12/22 08:28