No.1ベストアンサー
- 回答日時:
BDの長さ(立方体を構成する面の対角線)が2cm
なので、まずはBCなどの1辺の長さを求めます。
三角形BCDは垂直二等辺三角形なので
辺の比率 1:1:√2 が使えます。
BD(比率では√2の部分)が2cmなので
BC他、立方体の各辺の長さは
BDに対して 2*(1/√2) となります。
よって立方体1辺の長さは 2/√2
分母有理化すると √2
続いて、三角錐
画像で見やすいBEFGを使いましょうか。
三角錐の体積は、同じ底面の三角柱の体積の1/3です。
なので、
底面積(三角形EFG)
√2 * √2 * 1/2 =1
に、高さ(FB)と1/3をかけると √2/3
これが、A、C、F、Hを頂点とする4箇所にあるので
合計値 4√2/3
これを立方体の体積(√2^3 = 2√2)から引くと
残った部分、正四面体の体積となります。
2√2 - 4√2/3
3*2√2/3 - 4√2/3
2√2/3
よって、Aが答えとなります。
三角錐の体積の求め方と、
全体から引き算する(立方体から三角錐を削る)
という点に気が付くかどうかが
この問題のポイントのようです。
・・・とかいいながら、
答え、合っているのでしょうか。。。
No.2
- 回答日時:
求める体積は、1辺の長さがaの正四面体の体積Vの公式
V=(√2 / 12) a^3
より
(√2/12)×2^3=8√2/12=2√2/3 c㎥
答: A
1辺の長さがaの正四面体の
高さの公式: (√6 / 3) a
体積の公式: (√2 / 12) a^3
は、覚えておいて損はありません!
高さ不明の正四面体はこれらで即答できます。
ふつうに計算するとかなり時間がかかりますが、一応、ど忘れしたときのために、ふつうに計算する手順も確認しておいてください。
No.3
- 回答日時:
まず、正四角錐は正四面体の間違いですね。
正四面体B-DEGの体積は正六面体ABCD-EFGHの体積から三角錐(例えばC-BDG)を4個切り取った残りになります。三角錐C-BDGの体積は底面をBCGとすると、2辺が√2の直角二等辺三角形です。その面積は√2×√2÷2=1cm²、三角錐C-BDGの体積は1×√2÷3=√2/3 同じ体積のこれが4つあるので4√2/3cm³
1辺√2の立方体の体積は√2×√2×√2=2√2cm³
正四面体B-DEGの体積は=2√2ー4√2/3=(6√2ー4√2)÷3=2√2/3cm³です。
よって選択肢Aです。
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