「ねじれの位置」の定義に関して

Question

現在中学生に空間図形を教えているのですが、その中で生じた疑問点です。

一般に、２直線が互いに異なる平面上にあり、交わらない時、「ねじれの位置」にある、といいますよね？

中学生の問題だと、通常立方体が与えられて、「辺ABとねじれの位置にある辺はどれか」みたいに聞かれるのですが、その場合には解き方として「辺ABと平行な面上の辺のうち、ABと平行でない辺」を見つければそれが答えになります（と思っています）。

しかし、それは一般的な解法なのでしょうか？
つまり、
「２直線l,mが互いにねじれの位置にある」ということは
「互いに平行な２平面が存在し、それらがそれぞれ直線l,mを含む」ということは同値と言えるのでしょうか？

よろしくお願いします。

pyon1956 · Accepted Answer

ねじれの位置、の正確な定義は2直線を同時に含む平面が存在しないこと、です。
で、仰る条件のうち後者は２重の意味で不都合なものです。
「互いに平行な２平面が存在し、それらがそれぞれ直線l,mを含む」
それぞれが、という言葉に意味を持たせようと考えられたのでしょうが、数学の論理においてはこの言葉はでは2直線を同時に含む平面は存在しないといえるか、については何も語っていないからです。
実際この言葉に従ってl,mを平行な2直線にとる事が可能です。
またそれぞれが、という言葉は独立性をいっているだけです。つまり各平面が、一方はlを、他方はmを含んでいますよ、といっているだけですから。以上全く同値ではありません。確かにねじれの位置にある2直線をそれぞれ含む2平面を平行にとる事はできるので、部分集合にはなっているようですが。（ただし微修正必要）
「２直線l,mが互いにねじれの位置にある」⇒「それらがそれぞれ直線l,mを含む2平面を互いに平行にとることができる」は言えるようです。

ojisan7 · Answer

>「２直線l,mが互いにねじれの位置にある」ということは
「互いに平行な２平面が存在し、それらがそれぞれ直線l,mを含む」ということは同値と言えるのでしょうか？

違います。それは誤りです。もし、それが正しいとすると、平行な２平面にそれぞれ、直線ｌ、ｍがあり、また、ｌ、ｍがお互いに平行の場合はどうでしょう。

ともかく、難しく考えることはありません。
「ねじれの位置にある２直線」とは、「同一平面上にない、交わらない２直線」
です。それ以上でも、それ以下でもありません。

bakachau · Answer

まず、「平行である」「交わっている」「ねじれの位置にある」のいずれの位置関係においても「互いに」という言葉は不要ですよね。

>一般に、２直線が互いに異なる平面上にあり、交わらない時、「ねじれの位置」にある、といいますよね？
これは誤りです。
「異なる平面」には平行な平面も含まれますので、上記定義には平行な直線も含まれてしまいます。
正しくは、「2直線が同一平面上にないとき」言い換えれば「2直線が平行でもなく交わってもいないとき」、ねじれの位置にあるといいます。

立方体の場合は面や辺の数が少ないためにうまくいっただけで、例えば正六角柱で試されると明らかですね。

一般的な解法は「交わる辺と平行な辺を消去していく」ではないでしょうか。
キーポイントは「辺」で考えるのではなく、「辺を延長した直線」で考える事です。
しっかり教えてあげてください。

kamejiro · Answer

＞「互いに平行な２平面が存在し、それらがそれぞれ直線l,mを含む」ということは同値と言えるのでしょうか？

この場合、直線l,mは交わらないけれど、平行な２直線の場合もあり得ます。ねじれの位置の定義と同値とは言えないと思います。

「ねじれの位置」の定義に関して

ねじれの位置、の正確な定義は2直線を同時に含む平面が存在しないこと、です。

>「２直線l,mが互いにねじれの位置にある」ということは

まず、「平行である」「交わっている」「ねじれの位置にある」のいずれの位置関係においても「互いに」という言葉は不要ですよね。

＞「互いに平行な２平面が存在し、それらがそれぞれ直線l,mを含む」ということは同値と言えるのでしょうか？

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