こんにちは。ある実験をしていまして、ちょっと困ったことがあったので質問させていただきます。
水中を上昇する気泡の平均径(長径の平均)を算出しているのですが、カメラを使って測定しているので奥行きが分かりません。気泡の形は楕円体です。過去に卒業された先輩はa(短径),b(長径),c(奥行き)だとしたらa=cで体積と表面積を求めてそこから気泡の平均径を算出していました。
ここで質問です。
1.奥行きcがわからなくても体積や表面積は算出できるのか?
2.普通にカメラの画像から長径を測定してその平均や中央値、最頻値などで平均径 とはできないのか?
この2つについての解答をお願いします。言葉足らずではありますがよろしくお願いします

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A 回答 (3件)

> 1.奥行きcがわからなくても体積や表面積は算出できるのか?


そりゃ,一般的には無理ですよ.
回転楕円体で1つの軸が鉛直方向だという仮定なら,a=c で体積や表面積は計算できます.
回転楕円体でなくて一般の楕円体なら a=c ではないので,
もちろん体積や表面積は計算できません.
2方向から同時撮影すればいいような気もしますが,
その方向が軸方向とは限りませんから,直ちに a,c がわかることにはなりませんね.

> 2.普通にカメラの画像から長径を測定してその平均や中央値、最頻値などで平均径
> とはできないのか?
starflora さんも書かれているように,問題は「平均」の意味ですね.
長径や短径は値に分布があるわけですから,
それらの平均値を掛け算して出した「平均体積(のつもり)」と
体積を平均したものとは違います.

例えば,球が多数あって,半径の数値が分布しているとします.
平均半径が R,それからのずれが δ で <δ>=0 とします(<δ>は分布に関する平均).
半径 R+δの球の表面積は
S = 4π(R+δ)^2 = 4π(R^2 + 2Rδ + δ^2)
ですから,<δ>=0 に注意して
<S> = 4π(R^2 + <δ^2>)
で,πR^2 とは異なります.
したがって,表面積を問題にする限りは,
「平均的な球」は半径 √(R^2 + <δ^2>) です.
体積の方は
V = (4π/3)(R+δ)^3
から
<V> = (4π/3)(R^3 + 3R<δ^2> + <δ^3>)
ですから,「平均的な球」は
体積に関しては半径 (R^3 + 3R<δ^2> + <δ^3>)^(1/3) です.

同じような事情は,今の回転楕円体の体積や表面積にも現れます.
「平均的回転楕円体」の a と c を決めるとき,
体積が重要か表面積が重要かはどういう現象を対象としているか
すなわち本質的役割を果たすのは体積なのか表面積なのか,によって決まります.
気泡の浮力なら体積でしょうし,気泡の気体が水に溶けるというなら表面積でしょう.
もし,a と c の比が決まっているなら,選べるパラメーターは1つですから
体積あるいは表面積のどちらかしか使えませんね.
a と c が自由に選べるなら2パラメーターですから,
「平均的回転楕円体の体積」 = 「体積の平均値」
「平均的回転楕円体の表面積」= 「表面積の平均値」
が同時に満たされるようにすることができます.
質問文から察するに,後者の a と c が自由に選べる話なのでしょう.
こう考えて,先輩は平均体積と平均表面積から
平均的回転楕円体の a と c を決めたのでしょう.
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この回答へのお礼

お礼の返事が遅くなって申し訳ございませんでした。siegmundさんや他の回答者の方のご意見を参考にさせていただきます。ありがとうございます。

お礼日時:2002/01/09 17:18

察するところ、気泡はかなり小粒。

でかいと、とてつもない格好になります。小粒なら割と球に近い形をしているから、楕円体で近似するのは妥当でしょう。

移動方向に沿った軸では複雑な流体力学が働いています。だからひしゃげた形になるんでしょう。でも、小粒なら真上から見て概ね真円、あるいは単純な振動をしていると考えられます。
 さてこの気泡に、カメラに向かってポーズを取るように指示していらっしゃいますでしょうか?
 さもなくば、気泡はカメラ目線にならず、個々てんでな方向を向いて(ってどっちが目なのか知りませんが)上昇なさっている筈です。従って、多数の気泡の横幅の平均値は、奥行きの平均値と一致すると考えて良さそうです。

 こういう言い訳、いかがなもんでしょう?

 深い水槽の底の方をお使いなら、上昇に伴う気泡の体積変化を無視できるでしょう。上昇速度は一定と考えられます。(推定した)気泡の形状から、気泡に働く浮力と抵抗が丁度拮抗する速さを流体力学をつかって割り出し、これと実測値を比べることで、回転楕円体というモデルが適当かどうかがチェックできそうですね。
 いや、難しい計算をしなくても、比重2の材料で気泡の回転楕円体の模型を作って沈めてみても宜しいんじゃないでしょうか。

 なお、表面積を求める理由は全然わかりません。
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この回答へのお礼

お礼の返事が遅くなってすみませんでした。気泡がフラフラするからこんな面倒なことになっちゃうんですよね~。回答してくださってありがとうございました。

お礼日時:2002/01/09 17:20

 


  >1.奥行きcがわからなくても体積や表面積は算出できるのか?
 
  気泡の形状が回転楕円体でなく、何か歪みが特定方向にあれば、そもそも、気泡がすべて(準)相似形かどうか、などという話になって来て、非常に複雑な話になります。また、回転楕円体でない場合、体積、表面積の計算はかなり難しくなります。無論、数値計算すればよいのかも知れませんが。
 
  しかし、普通に考えて、回転楕円体と近似しないと、計算のしようがないとも言えます。気泡は多分、上と下で、対称形ではないでしょうし、水中の流れによって、必ず歪んでいます。これを正確に近似する方法は、というのなら、また別の質問を立てられることです(もっと難しい話になってきます。そもそも気泡は、立体的にどういう形に分布しているのかの確認が必要になり、それは、二方向、三方向から同時に気泡を撮影して、三次元形状の復元を試みるというような話になってきます)。
 
  従って、回転楕円体で近似すれば、奥行きは必要ありません。奥行きは短径と同じ大きさです。(これで良いというのではなく、正確さを求めると、a,b,cの三つのパラメーターでも足らなくなるはずだからです。気泡が楕円体だという保証はないのです。多数の気泡だと、全体として、長径を軸とする回転楕円体で近似するのが、もっとも合理的だということです)。
 
  >2.普通にカメラの画像から長径を測定してその平均や中央値、最頻値などで平均径 とはできないのか?
 
  「平均径」という言葉で何を意味されているかです。長径を測定した平均は、そういう平均値でしょう。メディアンや最頻値も、そういう値でしょう。
 
  思うに必要なのは、気泡の体積なのではありませんか?(また、球に換算しての、その半径または直径の平均値なのでは? ……何故なら、気泡の回転楕円体の長径対短径比が一定であるなどという関係が成立しているのでしょうか? 準相似形と書いたのは、回転楕円体は、二つのパラメーターを持つので、相似にならないからです)。
 
  体積球換算の半径等の平均値だと、気泡の大きさの比較になります。この換算半径等の平均値は、長径の平均値や、メディアンや最頻値とは別の量です。また、長径の平均値などから、簡単には出てきません(原理的に、気泡が相似である、つまり長径対短径比が一定でないと長径だけの比較は無意味です)。
 
  短径と長径を写真撮影で測定し、aとbで、数字を入れるだけで、体積や表面積などを出し、更に、球換算して半径を出し、入力したデータ数に応じて、自動的に平均値を出すプログラムを作られればよいでしょう。
 
  回転楕円体の体積の式は、以下の参考URLの質問ページに答えがあります。また、表面積の式も、以下のURLの質問ページにあります。
 
  体積:  http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=27302
  表面積: http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215
 

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=27302
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この回答へのお礼

お礼の返事が遅れてしまい申し訳ありませんでした。
いろいろ調べていましたがstarfloraさんら回答された
方々のの考え方でいこうと思います。ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/09 16:53

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Q楕円体の慣性モーメントについてです

長半径a短半径bの楕円体の慣性モーメントを求めたいです(原点が楕円の中心でx軸y軸z軸それぞれの慣性モーメントを求めたい)

r^2dmの積分で慣性モーメントが求まるのでdmは楕円の媒介変数表示で表せる気がしますが、rはあらわしかたが想像できません

楕円体の慣性モーメントのもとめかたわかるかた教えてください

Aベストアンサー

No.3 訂正があります。オンラインで書くとダメですね(^^;


>(3/4)(a^2+b^2)M∫(sinθ)^3r^4drdθdΦ=(a^2+b^2)M∫r^4drdΦ=
>(a^2+b^2)M∫r^4dr=(1/5)(a^2+b^2)M

(3/4)(a^2+b^2)M∫(sinθ)^3r^4drdθ=(a^2+b^2)M∫r^4dr=
=(1/5)(a^2+b^2)M

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0~πでは 4/3 になります。

Q回転した楕円の長径短径、媒介変数表示

院試の過去問をやっていましたが解答がないため質問させていただきます。

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(1)この楕円の長径,短径を求めよ.
(2)X,Yを長径,短径に沿う座標軸とするとき,この楕円っを媒介変数表示せよ.

自分の考えた方針は(x y)=P(X Y)と適当な回転行列Pを用いて表現された(x y)を与式に代入し,そのとき出てくるXYの項の係数がゼロとすることでθだけ回転してることと同時に長径,短径もわかるだろうと思っていたのですが,どうもうまくいきませんでした。

どなたかよろしくお願いします.

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2行2列の対称行列
  2  -1
  -1  1
の固有値と固有ベクトルを求めて、
左辺の二次形式を対角化すればよいでしょう?

実対称行列の固有値は、必ず実数ですが、
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(正と負なら、双曲線。一方が0ならば、放物線。)
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一次項が無ければ、楕円の中心は原点ですから、
媒介変数表示は、
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とするだけです。
X,Y 座標が長軸短軸に沿ってとってありますから、
回転を考慮する必要もありません。

Q楕円体上の最短測地線

地球上の二点の長さを手計算でやろうと思い立ってこの問題にぶつかりました。赤道半径と極半径に22kmの差があるので、地球を球とみなせば容易に計算できるのですが、かなりの誤差が心配されます。

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x^2+y^2+αz^2=1
であらわされる楕円体です。この楕円体上の二点の最短測地線を求めたいです。楕円体上の測地線が何で与えられるのかすら知りません。(2点を通る平面で切断した切断面なのかと想像はしているのですが)また、それらの中で最短の測地線を与えるものは具体的に計算できるのでしょうか?さらに最短測地線が求まったとして、その楕円弧長はやはり楕円積分となって初等関数では表せませんか?

とりあえず疑問にしているのは、
・楕円体上の任意の二点の最短線を求める方法
ということです。ご教示よろしくお願いします。

Aベストアンサー

楕円体上の二点を結ぶ測地線といえば、そもそも二点間の最短距離を結ぶラインです。
例えば地球儀上である二点間にゴム紐を渡してピンと弾いたときにゴム紐がそれを示してくれます。
ですからわざわざ「最短測地線」と名乗る必要はありません。

書籍でお薦めするのは、
「現代測量学 4 測地測量1」社団法人日本測量協会
の4章にお望みの様々な計算式が載っています。それぞれの計算式はステップが多くてとても引用することが出来ません。
2000km程度までなら多項式の近似式が一般的です。
地球規模になるとどうしても積分が関わってきます。

この本は日本測量協会創立30周年を記念して発行された物で、図書館で探していただくか(国会図書館には絶対あるはず)、日本測量協会に問い合わせてみてください。日本測量協会の本部や各地方支部には在ると思いますので。

さて、ある地点の経緯度からの方位と距離を与えて目的地の経緯度を求めるのが測地学の第1問題と呼ばれ、
二地点の経緯度から二地点間の距離と方位を求めるのが測地学の第2問題と呼ばれます。

この本のK.Hubenyによる拡張式(ガウスの平均緯度式に対する)これは2000km離れた地点に対する第2問題に有効なもので実際に私はプログラミングして使っています。
この計算式だと日本国内が対象だとほぼ問題無く使えます。

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http://www.arknext.com/utility/contents/gccj.html
手計算の結果と比べて検算に使えます。
このページはJavaScriptで記述されていますのでファイルに保存すればオフラインでも計算できます。
興味があればソースを熟読するのもいいかもしれません。もちろん著作権を守って。

測地や測量の世界では一般的に地球を楕円体で表す場合は赤道半径a と扁平率f で表示します。
現在の日本の測量法で採用されている楕円体は、
 地球赤道半径 a = 6378137m
 扁平率 f = 1 / 298.257222101
です。

測量法第11条
http://tochi.hourei.info/tochi12-3.html
と測量法施行令第2条をご覧下さい。
http://tochi.hourei.info/tochi14-1.html

丸善発行の理科年表もお読みになられることをお薦めします。

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Q楕円の長径と短径の求め方について

機械製図で等角図の円をかく際、困っています。
角度30°で等角図をかくと円は楕円となってあらわれます。
傾き35°の楕円というそうなのですが…
例えば直径10mm、長さ20mmの円筒を角度30°の等角図でかくと、
辺の長さが10mmの菱形に内接した長さ20mm楕円柱であらわれます。

メインでEASY DRAW Ver.12
サブでJw_cad Ver5.11e
を使っていますが、Jw_cadには
作図>接円>接楕円>菱形内接 のコマンドがあり
簡単に菱形に内接する楕円をかくことができます。
しかし、EASY DRAWにはそのようなコマンドがなく、
長径と短径を入力するコマンドしかありません。
Jw_cadで楕円の図面をかきDXFで保存しても、
EASY DRAW変換すると楕円は近似多角形となってしまいます。
等角図には近似楕円でかく方法もありますが、
ちゃんとした楕円でかきたいと思っています。

そこで質問です。
角度30°の等角図で直径d=1、つまり辺の長さ1の菱形に内接する
楕円の長径aと短径bの求め方を教えてください。
Jw_cadで作図し下記の値になることは確認できているのですが…
d=1
a=0.612372
b=0.353553

機械製図で等角図の円をかく際、困っています。
角度30°で等角図をかくと円は楕円となってあらわれます。
傾き35°の楕円というそうなのですが…
例えば直径10mm、長さ20mmの円筒を角度30°の等角図でかくと、
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メインでEASY DRAW Ver.12
サブでJw_cad Ver5.11e
を使っていますが、Jw_cadには
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簡単に菱形に内接する楕円をかくことができます。
しかし、EASY DRAWにはそのようなコマンドが...続きを読む

Aベストアンサー

件の菱形を、その短軸方向に√3倍すると正方形になり、楕円は円になります。長軸方向の長さは変わらないから、この正方形の対角線は、菱形の長い方の対角線と長さが同じ。
菱形の長い方の対角線の1/2は、1辺1の正三角形の高さだから(√3)/2。よって正方形の対角線の長さは√3。正方形の1辺の長さは√3/√2。この正方形に内接する円の半径は√3/√2/2=√(3/8)。
 この円を、前記菱形の短軸方向に1/√3倍して楕円に戻しても、長軸方向の長さは変わらないから、
長径は内接円の半径と同じで√(3/8)=0.61237243569・・・ 
短径は内接円の半径の1/√3倍になるから√(3/8)/√3=1/√8=0.353553390593・・・ 

Q楕円体の表面積

 楕円体の表面積の求め方について教えてください。

Aベストアンサー

一般の楕円体はちょっとかんべんしてもらって,
回転楕円体
(1)  (x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
の表面積に焦点を絞って回答します.

残念ながら No.1 と No.2 の回答は不正解のようです.

No.1 は楕円の面積の π×(長半径)×(短半径) から類推されているような
気がします.
一つの軸をスケール変換したときに,
平面図形の面積あるいは立体図形の体積,などはスケール変換と簡単に関連づけられて,
円の面積から楕円の面積,球の体積から楕円体の体積,
など求めることが可能です.
しかし,楕円の周長や,楕円体の表面積はそうはいきません.
参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=27302

No.2 は方針は合っていますが,傾きのことを忘れています.
曲線の長さを求めるときに √{1+(dy/dx)^2} の因子に相当するものを
考慮しないといけません.

z 一定の面での切り口は円で,その半径 R は(1)で x^2+y^2 = R^2 とおいたものですから
(1)  R = (a/c)√(c^2 - a^2)
です.
円周はもちろん 2πR.
z~z+dz の範囲からの表面積への寄与 dS は
(2)  dS = 2πR √{dR^2+dz^2} = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
下図の斜線部が √{dR^2+dz^2} です.

        /  ↑
       /│  │
      / │  dR
     /  │  │
    /   │  ↓
    │   │
    │   │
   R│   │
    │   │
    z   z+dz

あとはこれを積分すればよく
(3)  S = ∫{-c~c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
を(1)を考慮して計算すればOKです.
ちょっと計算してみるとわかりますが,積分の本質的部分は
(4)  ∫{-c~c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
で,a>c か a<c かの分類が必要です.
結果は
a>c のとき
(5)  S = 2πa^2 + [πac^2/√(a^2-c^2)] log {[a+√(a^2-c^2)]/[a-√(a^2-c^2)]}
a<c のとき
(6)  S = 2πa^2 + [2πac^2/√(c^2-a^2)] arccos(a/c)
です.
a=c ならもちろん S = 4πa^2.

回転楕円体でなくて,一般の楕円体
(7)  x^2/a^2 + + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
なら,z 一定の切り口が楕円ですし,傾きも方向によって異なります.
表面積の公式
(8)  ∬ √{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2} dx dy
を使う方がわかりやすいかも知れません.

一般の楕円体はちょっとかんべんしてもらって,
回転楕円体
(1)  (x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
の表面積に焦点を絞って回答します.

残念ながら No.1 と No.2 の回答は不正解のようです.

No.1 は楕円の面積の π×(長半径)×(短半径) から類推されているような
気がします.
一つの軸をスケール変換したときに,
平面図形の面積あるいは立体図形の体積,などはスケール変換と簡単に関連づけられて,
円の面積から楕円の面積,球の体積から楕円体の体積,
など求めることが可能です.
しかし,楕円...続きを読む

Q比率(%) の平均値を算出する場合、算術平均値、幾何平均値、調和平均値のいずれが適切でしょうか。

比率(%) の平均値を算出する場合、
算術平均値、幾何平均値、調和平均値の
いずれが適切でしょうか。

例えば次のデータがある場合、エクセルで各々の
種類の平均値を算出すると求められる答えが
変わってきます。明日までに上司に提出する
レポートで、比率の平均値を記載しなくては、
ならないのですが、いろいろなサイトを調べて
もいまいち自信が持てません。助けて下さい。

ちなみに数値(%)は物流諸掛(ある貿易取引中の
最終確定金額中において、どれくらいの割合、
搬送費用が占めているのか) を表しています。
宜しくお願い致します。

(例)
1.222 %
1.210 %
1.204 %
1.159 %
3.232 %
1.762 %
1.112 %
1.299 %
1.122 %
1.611 %
1.284 %

算術平均 1.474 %
幾何平均 1.396 %
調和平均 1.346 %

Aベストアンサー

これらの率だけからでは意味のある平均は出せません。

すべての種類における最終確定金額に対する搬送費用の割合の
平均値を計算するならば、
すべての種類の搬送費用合計/すべての種類の最終確定金額合計
とする必要があります。

率しか分かっていないと、例えば種類Aの物流が1、種類Bの物流が
1000といったように極端な場合は、単に率の平均をとるのは
意味がないとわかると思います。
すなわち、それぞれの種類の絶対量がわからないといけないと思い
ます。

Q平面と楕円体との距離の最小値を求めたいのですが・・・・

平面ax+by+cz=d

楕円体x^2/16+y^2/4+z^2=1
について、

平面と楕円体の距離が最小となる時の楕円体上の点の座標を求めよ
というものです。

初めにラグランジュの乗数法を用いて解こうとしましたが混乱してしまいました。
求める座標をx,y,zとして

(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2-λ(x^2/16+y^2/4+z^2-1)=0
(ただしX,Y,ZはaX+bY+cZ=dを満たすもの)

から、x,y,z,λで偏微分して連立しようとしました。
平面ではなく点なら簡単だったのですが、こういう場合はどうやって
x,y,zが求まるのでしょうか。それとも他に簡単な解法があるのでしょうか。もしありましたら教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

楕円体x^2/16+y^2/4+z^2=1 上の点(p,q,r)での接平面の式は、
px/16+qy/4+rz=1

この接平面と平面ax+by+cz=dとが平行になるとき、平面と楕円体の距離が最小になります。

よって、
p^2/16+q^2/4+r^2=1
p/a=q/b=r/c
の連立方程式から、p,q,rを求めます。

ただし、解は2つあるので、どちらの点の距離が小さいかを決める必要があります。

Q体積と表面積

図で.点A.Dはそれぞれ△OBCの辺OB.OCの中点です.四角形ABCDを.ABを軸として回転させてできる立体の体積と表面積を求めてください

解き方の説明があるとうれしいです!

お願いします

Aベストアンサー

OA=AB=4cm
OB=OA+AB=4+4=8cm
OD=DC=5cm,OC=OD+DC=5+5=10cm
AD=BC/2=6/2=3cm

円錐台の体積=(OBを軸に△OBCを一回転した円錐の体積)-(OAを軸に△OADを一回転した円錐の体積)
=(1/3)(π*BC^2)*OB - (1/3)(π*AD^2)*OA
=(1/3)π*[{6^2)*8 - (3^2)*4}
=(π/3)*36*7
=84π cm^3 (≒263.89cm^3)

側面の面積=(OCを半径とする扇形の面積)-(ODを半径とする扇形の面積)
={π*(OC^2)-π*OD^2)}*(全円周に対する底面の円周の比)
=π{(OC^2)-(OD^2)}*(BC/OC)
=π(10^2-5^2)}*(6/10)=45πcm^2(≒141.37cm^2)
表面積=(側面の面積)+(上底円盤面積) +(下底円盤面積)
=45π+π*AD^2+π*BC^2
=45π+9π+36π=90πcm^2(≒282.74cm^2)

Q日本の代表的ポイントでの楕円体高、ジオイド高、標高

日本の代表的なポイントでの楕円体高、ジオイド高、標高がわかるようなwebページがありましたら教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。
国土地理院のサイトではだめですか?
基準点成果閲覧やジオイドデータのページが役に立ちそうに思いますが。また、楕円体高は、国土地理院のサイト内の次のページで換算できるようです。
http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/transl.html
国土地理院のサイトにはいろいろなデータがあるので、サーバ内を検索してみるとtemoremoさんの役に立つデータが見つかるかもしれません。

参考URL:http://www.gsi.go.jp/

Q球の体積・表面積

球の体積・表面積の公式ってどうやって導けばいいのでしょうか?
たしか球を無数の三角錐にわけたような気が。
わかるかたよろしくおねがいします!!

Aベストアンサー

球の体積を求めるには、積分と微分を用いて公式を導きます。円の式を x^2+y^2=r^2 これをx軸のまわりに回転させると、(原点が円の中心、半径rの円)
V=π∫r(上に書きます)-r(下に書きます)y^2dx
 =π∫r、-r(r^2-x^2)dx
 =2π∫r、0(r^2-x^2)dx
 =2π[r^2x-1/3x^3]r,0
 =4/3πr^3  と、公式が導き出せます。
表面積は、円周(2πr)の集合と考えられるので、換言すれば表面積を限りなく0に近づけたものと考えられるので、
球の表面積を微分したものと言えますから、逆に円周を積分すると、4πr^2と言う公式が導き出せます。
 


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