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円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断し、高さの等しい円錐Aと円錐台B,Cに分けた。このときBの体積が21cm3であったとすると、Cの体積はいくらか。

解説↓
円錐Aを基準とすると、円錐A+円錐台Bの高さは2倍で底面積は4倍となる。体積は、円錐A:円錐A+円錐台B=1:8となる。円錐Aの体積をxとすると、1:8=x:(x+21)となり、x=3となり、円錐Aの面積は3である。円錐Aを基準とすると、円錐A+円錐台B+円錐台C=1:27となる。円錐台Cの体積をxとすると、1:27=3:(3+1+x)となり、x=57となる。

解説で「円錐A+円錐台Bの高さは2倍で底面積は4倍となる」とあります。相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?
どなたか解説お願いします。

「円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断」の質問画像

A 回答 (5件)

>相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?



底面だけ比べても相似だからです。(側面積も同様に4倍です。)

>円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?

高さと底面積から体積を求めるので、底面積だけについて述べた方がいいでしょう。
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問題や解説の表現におかしいところがありますね。

正しい用語と省略しない表現を正しく使ってください。

>円錐を底辺に平行な2つの平面P,Qで切断
修正例:円錐を底面に平行な2つの平面P,Qで切断

>円錐A+円錐台Bの高さは2倍で底面積は4倍となる。
修正例:円錐Aと円錐台Bをあわせた円錐の高さは2倍で底面積は4倍となる。

>体積は、円錐A:円錐A+円錐台B=1:8となる。
修正例:体積比は、円錐A:(円錐A+円錐台B)=1:8となる。

>x=3となり、円錐Aの面積は3である。
修正例:x=3となり、円錐Aの体積は3cm^3である。

>円錐Aを基準とすると、円錐A+円錐台B+円錐台C=1:27となる。
修正例:円錐Aを基準とすると、体積比は円錐A:(円錐A+円錐台B+円錐台C)=1:27となる。

>相似比を2乗すると面積比なるはずですが、どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?
なぜ「底面積だけ」と考えるのですか? 「底面積だけ」ではなく「底面積も」ですよ。

>円錐A+円錐台Bの面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?
円錐Aと(円錐A+円錐台B)を合わせた円錐の底面積の比が4倍になる」です。
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 変な「解説」ですね。



>Bの体積が21cm3であったとすると、Cの体積はいくらか

という体積の問題を考えるのに、なぜ底面積を持ち出しているのか、よくわかりません。
「相似な立体の体積比は、長さの比の3乗に比例する」という性質を使うのが普通でしょう。

 A と A+B と A+B+C の3つの円錐は相似で、長さの比が 1:2:3 なので、体積比は 1:8:27 になります。したがって、

A と B と C の体積比が 1:7:19

となり、問題の B と C の体積比は 7:19 であり、Bの体積が 21 ならば、C の体積は、7:19=21:x で求まります。
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>面積比が4倍になるではダメなのでしょうか?



これだけ述べても、体積比が1:8となる根拠とはなりませんので、「高さは2倍で底面積は4倍となる」と表現しています。親切に書くなら「高さは2倍で底面積は4倍となるので、体積は高さ×底面積だから体積の比は1:8となる」という意味だと思います。

>どうして底面積だけ4倍なのでしょうか?

高さと底面の半径は比例するので、高さが2倍になれば底面の円の半径も2倍です。面積はπ×半径の二乗なので、半径2倍の二乗で面積は4倍となります。
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まあ、この問題において面積なんてどうでもいいのだが・・・。



底面積となれば、この解説の場合は平面Qを意味します。
ただの面積であれば、平面Pなのか側面積なのか分かりません。
だから、底面積と表現しているのです。

数学じゃなくて国語の問題ですね。また、このような段階で躓いているのは、
基本が全くできていない証拠でもあります。しっかり学んでください。
また、解説文にも言えますが、比というのであれば、言葉を省略せずに、何と何の比なのか
をしっかり記載しましょう。そうすれば、筋道を立てて解きやすくなります。
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