Y=Xの(1/2)乗 の微分は、
『Y=Xのn乗の微分公式Y'=nXの(n-1)乗』を用い、
Y'=(1/2)Xの(-1/2)乗になります。

ところで上の微分公式について、nが自然数の時は微分の定義に式を入れ、展開していって理解ができますが、nが自然数以外(分数)のときでもどうして成り立つかを、おしえて下さい。

※電気関係の試験勉強のため、数学を復習し直している者です。学校では、何の疑問も無かった(もしかすると疑問があっても考える余裕が無かった)箇所で詰まってしまって・・・

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A 回答 (2件)

 


  y=x^(1/n)  n は整数とします。
 
  これを微分するのですが、両辺をn乗します、すると:
 
  y^n = x   となり、これをxで微分すると:
 
  n(y^(n-1))・(dy/dx) = 1  となります。
 
  求めるのは、dy/dx です。だから、左辺にかかっている項を右辺に移すと:
  dy/dx = (1/n)(1/y^(n-1))
 
  ところで、y = x^(1/n)  です。これを代入すると:
 
  dy/dx = (1/n)(1/x^((1/n)・(n-1)) = (1/n)(1/x^(n-1/n))
     = (1/n)(1/x^(1-1/n)) = (1/n)(x^([1/n] -1))
 
  つまり:
  dy/dx = (1/n)(x^([1/n] -1)
 
  これで、分数の微分の式になっています。一般の x^(m/n) の場合は、
  z =x^(m) として、y = z^(1/n) で dy/dx を出すと式が出てきます。*)
  分数が係数の場合にも微分の公式は成立するのです。
 
  *) その式も書いておきます:
  dz/dx = mx^(m-1)
  dy/dx = {(1/n)z^([1/n]-1)}(dz/dx)
      = {(1/n)x^(m[1-n]/n)}{mx^(m-1)}
      = {(m/n)x^([m-mn]/n)+(m-1))}
      = (m/n)x^(m-n/n) = (m/n)x^([m/n]-1)
  
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この回答へのお礼

とてもご丁寧なご回答ありがとうございます。
ばっちり理解できました!!!

(回答の途中の、「y^n をxで微分する」ところで、ちょっと考えてしまいましたが、合成関数の微分法を使って  n(y^(n-1))・(dy/dx) となるのだとわかりました。)

お礼が遅くなりまして、すみません。
また教えていただくことがあろうかと思いますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/06 10:47

対数を使う方法もあります。


y = x^a
ってのはaが実数の場合、x≧0でないと意味不明です。x=0の場合を除くことにしますと、x,yはいずれも正の値。だから両辺の自然対数が計算できて
ln(y) = a ln(x)
こいつをxで微分いたします。
左辺は
∂ln(y)/∂x = (1/y)(∂y/∂x)
右辺は
a (∂ln(x)/∂x) = a/x
従って、
(1/y)(∂y/∂x) = a/x
ゆえに
∂y/∂x = a (y/x) = a (x^(a-1))
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この回答へのお礼

ご回答まことにありがとうございます。
理解できました!!!

実は、対数の微分公式を完全に忘れていましたが、テキストで理解できました。

お礼がおそくなりましてすみません。
また、質問させていただくかと思いますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/06 11:14

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故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
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>積分・微分回路で、”周波数により波形が変化する理由を考えよ。”というのがよくわからない

・積分回路、微分回路はCRの値によっても周波数によっても変化します。

・積分回路、微分回路にはコンデンサ(C)が含まれています。

・コンデンサのインピーダンスは周波数により変化します。

・積分回路はRCの直列接続で、出力はCの両端。

・微分回路はCRの直列接続で、出力はRの両端。


>微分回路で”積分回路でのRCを入れ替えでなぜ微分になるか?”が理解できてません。

『RCを入れ替えでなぜ』と言うよりも微分回路と積分回路をはっきり理解すれば良いと思います。

参考URLも見てください。

参考URL:http://www.hobby-elec.org/ckt.htm

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y=x^nの導関数はy'=nx^(n-1) (nは自然数)とか書かれてましたがnか実数なら成り立ちますよね?

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成り立つ。
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積分ということになるのでしょうか?
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二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか?

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで
>積分ということになるのでしょうか?
その通りです。

>こういうことは可能なのでしょうか?
可能です。


>また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、
>二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか?

一般的にはできません。
例えば
d^2y/dx^2=f(x)の場合
d^(y^2)=f(x)(dx)^2
∫d(y^2)=∫f(x)(dx)^2
と右辺の(dx)^2での積分は、積分の定義には存在しない(ありえない)からです。

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>dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで
>積分ということになるのでしょうか?
その通りです。

>こういうことは可能なのでしょうか?
可能です。


>また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、
>二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか?

一般的にはできません。
例えば
d^2y/dx^2=f(x)の場合
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昔から数学が得意でなくて、微分積分もなんとなくでここまでやってきました。しかし、一応は出来るものの、未だにその存在意義がよくわかりません。一体どういう場面、どういった目的、どういった用途で微分積分は用いられ、役に立っているのでしょうか?

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応用のひとつに"制御"があります。

例えば、この時期暑いですよね。冷房で部屋の温度を24度に保つことを考えます。
正確には冷房のパワーを調節して部屋の温度を"制御"することを考えるわけです。
全自動エアコンではないですよ。パワーを0~10の範囲で手動で調節しなければならない冷房器具です。
外はよく晴れて太陽が照りつけていると思ってくださいね。

もし部屋の気温が24度より低ければ、冷房をつければさらに寒くなってしまいますから冷房はつけなくていいですね。
で、気温が24度よりも高ければ、冷房をONすると。
……これだけでは不充分なのです。

これだけではパワーをどれくらいに設定すればいいか分かりませんよね。
室温は25度なのにパワー10で冷房を効かせてすごく寒くなるかもしれません。
それに同じ25度でも外が曇りなのか晴れなのか雨なのかによってパワーは変えていくべきですよね。


そこで現在の気温だけでなく、"気温の変化率"をみると良いのです。
同じ25度でも2時間前からほとんど変化していないならパワーは弱くて良いでしょうし、たったの10分で20度から25度になるくらい急激に気温が上がっているならパワーも強く設定するべきでしょう。
逆に1時間前に30度だった気温が現在25度になったなら、ほっといても室温は下がる。冷房はいらないとなります。

これはつまり、冷房のパワーは現在の気温Tだけで決めるより、現在の気温Tと「Tを微分したT'」を合わせて決める方が確実というわけです。


それだけではありません。
冷房をつけたことによって気温の上昇が緩やかになったなら、涼しくなるまでもう少し時間がかかるものの冷房の設定はいい感じと言えます。
冷房をつけても更に激しく気温が上昇するなら、冷房が真夏の太陽に力負けしていると言うことです。もっとパワーを上げなければいつまで経っても涼しくなりません。
これはそう、"気温の変化率の変化率"を見るということですね。数学的な記号で書けば2次微分係数T''です。


このように室温を制御するならば、普通、"室温"と"室温の変化率"と"室温の変化率の変化率"を見ながら冷房のパワーを調節してやります。
そして今回の例のように"ある物の状態を制御してやるための理論"が"古典制御論"です。

古典制御論では今見たように"微分"を使いますし。制御した結果、室温がちゃんと24度で一定に落ち着くのかを判定するために"ラプラス変換"というテクニックを用います。ラプラス変換するためには、ある関数を"積分"する必要があります。
古典制御論を私たちの暮らしに応用したものが、例えば全自動エアコンなのです。

あなたがエアコンをつけて設定温度を24度にするだけで、部屋の温度が24度で一定になるのも、微分積分のおかげ、そして古典制御論のおかげなんですね。
見えないところで意外に役に立っているものだ。

応用のひとつに"制御"があります。

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で、気温が24度よりも高ければ、冷房を...続きを読む

Qx^2+y^2=n×p (nは整数)を満たす互いに素な自然数x,yが存

x^2+y^2=n×p (nは整数)を満たす互いに素な自然数x,yが存在する奇素数pについて、
a^2+b^2=p^2を満たす互いに素なa,bは必ず存在するでしょうか?

換言しますと、奇素数pについて、nを自然数とするとき
「x^2+y^2=n×pとなる互いに素な自然数の組x,yが存在する」と
「a^2+b^2=p^2となる互いに素な自然数の組a,bが存在する」は同値でしょうか?

先ほど似た質問をさせていただいたのですが、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6216279.html
ミスがあり改めて質問し直しました。

私の確認したところでは
(a,b,p)=(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17)で成り立ちます。
pが3,7,11,19のとき、条件を満たすx,yもa,bも存在しません。

Aベストアンサー

結論から言うと、以下のようなことがいえます。

正の整数nがn=x^2 +y^2 (x,yは互いに素な正整数)とかける必要十分条件は
n=(p_1)^(k_1)*・・・*(p_k)^(h_k) (p_1,・・・,p_kは相異なる4で割ると1余る素数)
またはn=2(p_1)^(k_1)*・・・*(p_k)^(h_k) (p_1,・・・,p_kは相異なる4で割ると1余る素数)
であることがいえます。

証明は、複雑で長いのでここでは書けないですね。
詳しいことは、シュプリンガーフェアラーク東京から出版されている、G.H. ハーディ , E.M. ライト 著の 数論入門(I)と数論入門(II)に書いてあります。

上記命題を用いるとx^2+y^2=n・pとかける奇素数pは4で割って1余るものに限られます。
よって再び上記命題より、p^2が互いに素な正の整数u,vを用いてu^2 +v^2=p^2と書けることがわかります。

Q微分・積分の重要性について

いつもお世話になっています、こんばんは。

高校時代、微分・積分を少しだけやりました(文系のため数III・数Cは学習経験なし)が苦手でした。しかし、大学に入ると数学科目はもちろんのこと他の理系科目やミクロ経済学やマクロ経済学などあらゆる分野で微分・積分が多く活用されているように思いました。

質問1:なぜここまで微分・積分は活用されているのでしょうか?
質問2:微分・積分が活用されている分野を大まかに教えてください。
質問3:微分・積分を習得して役に立った経験を教えてください。
質問4:中学数学の基礎をしっかりと習得すれば、微分・積分を理解できますでしょうか?
質問5:Excel等のビジネスソフトでも微分・積分を活用することが可能でしょうか?

お時間ある時にお答えください、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

質問1: 連続的(なめらかに繋がっている)であって規則性を持つ物事の多くがこのやり方で扱えるからです。ちょっと標語的に言いますと:微分は、物事全体の中の極めて微小な部分に着目することによって、基本法則を描き出す道具。積分は、基本法則に沿って物事が発展して生じる全体を見通す道具。
質問2: ものの形や変化を扱う分野のほとんどが該当するでしょう。ことにそれらを分析したり予測したり設計したりするのに必須です。分析では、たとえば経済で言う「価格弾力性」なんてのは、微分そのものです。設計では、特に、何かを最適化する(コストを最小にする、強度を最大にするなど)際の計算には欠かせません。微積分は、もともとは力学のためにニュートンが開発した手法ですが、確率論の基礎でもあります。
質問3: 仕事で計算をやるときには、かなりの割合で微積分が入っています。しかし近頃の(大破綻した)ファイナンス理論に出てくるとびきり難しい種類の微積分は、実用の意味で使ったことはありません。
質問4: 大丈夫。最低限を理解するだけなら小学生でも可能です。微積分は算数のような数値を算出する計算とは違って、関数(変数を含む式)を算出する計算なんです。なので、ことに関数の考え方を身につけ、関数のグラフが描けるようになるのが肝要でしょう。
質問5: 表計算ソフトでは微積分はできません。でも、表計算ソフトと微積分の関わり方は2通りあるでしょう。(1)微積分の計算の結果得られた式を入力して、具体的な数値を計算したり、図表化したりする。(2)式が複雑で微積分が簡単には計算できない場合に、数値微分・数値積分(区分求積法)を使って無理矢理計算をする(本物の微積分の代わりにはなりませんが、応用目的によってはこれで足りる)。また、微積分の計算の結果が正しいかどうかチェックするために数値を入れて検算するのに、表計算ソフトをよく使います。

質問1: 連続的(なめらかに繋がっている)であって規則性を持つ物事の多くがこのやり方で扱えるからです。ちょっと標語的に言いますと:微分は、物事全体の中の極めて微小な部分に着目することによって、基本法則を描き出す道具。積分は、基本法則に沿って物事が発展して生じる全体を見通す道具。
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Q既出の質問 √xが整数 (x=y^2+3n+54 yは自然数)になるy

既出の質問 √xが整数 (x=y^2+3n+54 yは自然数)になるyはいくつでしょうか
で、もしも、(x=y^2+3y+54 yは自然数)になるyはいくつでしょうか
になれば、yを求められるでしょうか。

よく使う手で y^2+3y+54=k^2 自然数k>0とおく。とやって、
左辺に平方の形をつくる。となるけれど、3yでうまくいかない。
3y=2y+yにしてみてもあとが、続かない。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

y^2+3y+54=k^2
とおけば
4y^2+12y+216=4k^2
(2y+3)^2+207=4k^2
4k^2-(2y+3)^2=207
(2k+2y+3)(2k-2y-3)=3*3*23

あとは、(2k+2y+3)と(2k-2y-3)の組み合わせを調べる。


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