Y=Xの(1/2)乗 の微分は、
『Y=Xのn乗の微分公式Y'=nXの(n-1)乗』を用い、
Y'=(1/2)Xの(-1/2)乗になります。

ところで上の微分公式について、nが自然数の時は微分の定義に式を入れ、展開していって理解ができますが、nが自然数以外(分数)のときでもどうして成り立つかを、おしえて下さい。

※電気関係の試験勉強のため、数学を復習し直している者です。学校では、何の疑問も無かった(もしかすると疑問があっても考える余裕が無かった)箇所で詰まってしまって・・・

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A 回答 (2件)

 


  y=x^(1/n)  n は整数とします。
 
  これを微分するのですが、両辺をn乗します、すると:
 
  y^n = x   となり、これをxで微分すると:
 
  n(y^(n-1))・(dy/dx) = 1  となります。
 
  求めるのは、dy/dx です。だから、左辺にかかっている項を右辺に移すと:
  dy/dx = (1/n)(1/y^(n-1))
 
  ところで、y = x^(1/n)  です。これを代入すると:
 
  dy/dx = (1/n)(1/x^((1/n)・(n-1)) = (1/n)(1/x^(n-1/n))
     = (1/n)(1/x^(1-1/n)) = (1/n)(x^([1/n] -1))
 
  つまり:
  dy/dx = (1/n)(x^([1/n] -1)
 
  これで、分数の微分の式になっています。一般の x^(m/n) の場合は、
  z =x^(m) として、y = z^(1/n) で dy/dx を出すと式が出てきます。*)
  分数が係数の場合にも微分の公式は成立するのです。
 
  *) その式も書いておきます:
  dz/dx = mx^(m-1)
  dy/dx = {(1/n)z^([1/n]-1)}(dz/dx)
      = {(1/n)x^(m[1-n]/n)}{mx^(m-1)}
      = {(m/n)x^([m-mn]/n)+(m-1))}
      = (m/n)x^(m-n/n) = (m/n)x^([m/n]-1)
  
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この回答へのお礼

とてもご丁寧なご回答ありがとうございます。
ばっちり理解できました!!!

(回答の途中の、「y^n をxで微分する」ところで、ちょっと考えてしまいましたが、合成関数の微分法を使って  n(y^(n-1))・(dy/dx) となるのだとわかりました。)

お礼が遅くなりまして、すみません。
また教えていただくことがあろうかと思いますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/06 10:47

対数を使う方法もあります。


y = x^a
ってのはaが実数の場合、x≧0でないと意味不明です。x=0の場合を除くことにしますと、x,yはいずれも正の値。だから両辺の自然対数が計算できて
ln(y) = a ln(x)
こいつをxで微分いたします。
左辺は
∂ln(y)/∂x = (1/y)(∂y/∂x)
右辺は
a (∂ln(x)/∂x) = a/x
従って、
(1/y)(∂y/∂x) = a/x
ゆえに
∂y/∂x = a (y/x) = a (x^(a-1))
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    • 0
この回答へのお礼

ご回答まことにありがとうございます。
理解できました!!!

実は、対数の微分公式を完全に忘れていましたが、テキストで理解できました。

お礼がおそくなりましてすみません。
また、質問させていただくかと思いますのでよろしくお願いします。

お礼日時:2002/01/06 11:14

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まではわかったのですが
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Aベストアンサー

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∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
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対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

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まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

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このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
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log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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1)
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(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qe^x^2分の1の微分

e^xを微分するとe^xとなるのは分かるんですが、e^x^2分の1が、まったく分からないです。e^2xを微分すると2e^2xとかは、わかるのですが、丁寧に教えてください。よろしくお願いします

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e^2xを微分して2e^2xとなるのは
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Q費用関数の求め方。

生産関数y=x1x2をもつ企業の費用関数を求めなさい。の解答をお願いします!解き方を教えてください。

Aベストアンサー

全部解くとルール違反になるので、概要だけです。

一般的にいえば、生産関数は
y = f(x)
と書きます。xは投入要素ですが、複数あるのでベクトルになります。生産関数はこの問題では y=x1x2 であり、x=(x1, x2)です。

今、簡単化のためにこの企業はプライステイカーであるとします。すると費用関数は
C(y) = min{p1x1 + p2x2} s.t. y≦f(x)
と書けます。つまり、ある生産物をyだけ作るのに必要な最小限のコストですね。

後はこの問題を、例えばラグランジュ乗数法を使って解けば良いです。

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効用関数u=U(x1,x2)が、u=x1・x2^2で与えられている。x1、x2はそれぞれ第1財と第2財の消費量を表すものとする。

*両財の限界効用を求めよ。

という問題なのですが、どのように解けばよいのでしょうか? 偏微分すればいいといった記述もありましたが、定数は微分すると0になるので、この場合0になっちゃいませんか?

数年ぶりに微分(数学)をやるので、そもそも微分を間違ってる可能性もありますが・・・

どなたかお願いします・・・。

Aベストアンサー

>定数は微分すると0になるので、この場合0になっちゃいませんか?

ならないです。確かに、定数を微分すると0になりますが、条件式に定数は含まれていません。
結論から言えば、偏微分をすれば解けます。



>効用関数u=U(x1,x2)が、u=x1・x2^2で与えられている。

定数とは、一定の数、変数とは、変化する数のことですよね。
u=x1・x2^2で、x1,x2が定数だと考えてみましょう。
効用関数uは常に一定となってしまいます。

実は、効用関数U=(x1,x2)とは、「関数Uは変数x1、x2によって値が決定する」ことを意味しているのです。したがって、x1、x2は変数です。



最後に蛇足ながら偏微分のやり方についても触れておきます。
偏微分とは、たとえば、「x1を定数として扱い、x2が一単位増えたときの関数Uの増加分を求める」ことを指します。

∂(ラウンド)はdと同じく変化量を表し、偏微分で用いられます。
したがって、∂U/∂x1=x2^2となります。

このとき、定数扱いのx2^2は微分の対象となりませんので、消去しない点に注意してください(もしかすると、質問者の方が混乱したのはこの点かもしれません)。


同じく、x2の限界効用も求めると、∂U/∂x2=x1・2x2となります。

>定数は微分すると0になるので、この場合0になっちゃいませんか?

ならないです。確かに、定数を微分すると0になりますが、条件式に定数は含まれていません。
結論から言えば、偏微分をすれば解けます。



>効用関数u=U(x1,x2)が、u=x1・x2^2で与えられている。

定数とは、一定の数、変数とは、変化する数のことですよね。
u=x1・x2^2で、x1,x2が定数だと考えてみましょう。
効用関数uは常に一定となってしまいます。

実は、効用関数U=(x1,x2)とは、「関数Uは変数x1、x2によって値が決定する」ことを意味し...続きを読む

Q例えば16の4分の3乗は?

お恥ずかしい質問ですみません。
例えば「16の2分の1乗」って、4ですよね?
では、「16の4分の3乗」っていくつでしょうか?
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Aベストアンサー

aのb乗をa^bで表します。これには次の法則があります。

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16^(3/4)={16^(1/4)}^3=2^3=8



ところで1/4乗は

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