確率母関数の定義

確率母関数の定義を詳しく教えてください。

私が知っている範囲ですと，あやふやな確率の母集団の確立を表すことであやふやな確立の近似値を示すことができる。ということです。

不確かなことなので間違っているかもしれませんが，どうかお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2006/02/14 20:03

通常、確率母関数というのは、離散値(非負整数値)を取る確率変数のべきモーメントを指します。

すなわち、

0を取る確率がp_0、1を取る確率がp_1、2を取る確率がp_2、…
であるような確率分布を考えます。当然p_0+p_1+p_2+…=1となります。
このとき、この(確率)分布の確率母関数G(t)とはt^Xの期待値をいいます。
もっと解りやすく書くと、
G(t)=p_0+p_1t+p_2t^2+p_3t^3+…
のことを言います。べき級数の各係数が、
そのべきを取る確率になっているようなもののことです。
なぜ確率母関数と呼ばれるかというと、次の事実によります。
すなわちG(0)=p_0、G'(0)=p_1、G''(0)=2p_2、
…、G^(n)(0)=n!p_n、…のように、原点での微分係数が
確率を与える（すなわち確率の母というわけです）からです。

通常、連続分布などの場合は、ラプラス変換であるモーメント母関数、
あるいはフーリエ変換である特性関数などを用いますが、
離散値であることがわかっている場合は、確率母関数を用いる方が
計算が容易であることも多く、よく重宝されます。

なぜこれが便利かというと、たとえば二つの確率分布が独立であること
の証明をするのに、確率母関数が積に分解するかどうかを確かめる
だけでよいからです。このことはモーメント母関数でも特性関数でも
まったく同様です。

なお、通常用いられている、分布関数F(x)という用語は、
ある確率変数（あるいは確率分布）で、値x以下を取る確率のことを
指します。したがって確率母関数とは異なる用語です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
詳しく教えていただきほんとうに助かりました。

お礼日時：2006/02/16 11:34

No.1 回答者： at9_am 回答日時： 2006/02/14 18:25

確率母関数とは分布関数のことです。

詳しくは↓を参照してください。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87% …

この回答へのお礼

返事が遅くなってすいません。
解答してもらいありがとうございます。

わかりやすいのでよくわかりました。

お礼日時：2006/02/16 11:33