√3など、皆さんもご存知ですが、この√0.3ってのは、いくつなんでしょう?
整数で教えて下さい!電卓についてればできるんですが・・・
なんだか筆算で解いていく方法もあるとか・・・
でもズバリ教えて下さい。

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A 回答 (5件)

整数ということですが、小数ですよね。


結論から言うと、 
√0.3 = 0.54772・・・・ ですが
はい。コレは筆算でやります。少し複雑で、ココに説明しながら
書く自信がありません。説明は略すので、分からないところは質問してください。


         0. 5  4  7 ・・・
         _________
 0       √0. 30 00 00・・・
 0        0
 ----------------
 05       0. 30
  5         25
 ---------------------
 104         5 00
  4         4 16
 -------------------------
 1087          84 00
   7          76 09
-----------------------------
 1094   .       7 91
      ・
      ・
      ・

と、この筆算で近似値を求められます。

以上。
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  筆算で近似的に解く方法は、No.2 の方が実際に計算しています。
 
  No.3 の方の計算は、おかしいでしょう。何がおかしいかと云えば、
 
  >√0.3=(√30)/10~5.477225575051661134569697828008/10
 
  としていますが、まず、この (√30)の普通の電卓では出てこない精度の近似値(近似値なのに=で書いています。わたしは、近似値を示す記号として、とりあえず「~」を使っています)は、どこから出てきたのかということです。何かの表を見たか、計算プログラムで計算して出したのなら、その表や計算プログラムで、√0.3 もそのまま出てくるからです。
 
  質問者は、電卓に機能がないと云っています。
 
  この場合、筆算での開平もよいのですが、いずれにしても近似値です。大体の大きさなら、次のようにします。
 
  √0.3 =√(0.3/100) = (√30)/10
 
  ここで、(√30) とは、幾らだろうかと考えます。わたしなら、ある程度の精度がいるのでなく、大体なら、(√30)とは、或る数を二回かけると30になるということですから、5ではどうか、6ではなどうか、と見当を付けます。
 
  5だと25,6だと36で、30にはなりません。しかし、この結果から、大体、5と6のあいだぐらいだということは分かります。そこで、大体5.5ぐらいだ、と考え、これを10で割ると0.55になります。
 
  これも近似的な答えです。精度があらいというだけです。計算機に二乗根の機能がないか、計算機がない場合、大体の見当を付けるのに、わたしは、こういう風に考えて、大体の値を求めます。
 
   (√0.5) なら、7だと49になるので(8だと、64になります)、これはいい値なので、大体、0.7だと考えます。
 
  注)記憶で、 √2 = 1.414、√3 = 1.732、√5 = 2.236 と覚えている場合、
    √0.3 = √3/10 = √3/(√2 X √5) で計算できますが、手間がかかりますね。また、誤差も大きくなります。
 
  注2) 電卓には、かけ算がありますから、上で、5と6のあいだで、5.5としたのをかけ算で検算します。もっと細かい精度なら、5.51だとどうか、5.49だとどうか、とかけ算で求めて、近い値を捜すという方法も、かけ算のある電卓があればできます。
  
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こんばんは。


#2の方の解答が論理的です。
私もみの方法を使っていますよ。
どちらにせよ 無理数なので近似値しか求められません。
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『√0.3って??いくつか知りたいです!計算できるんでしょうか??』


http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=196694

この質問にも回答しましたが、

√0.3=√(30/100)=(√30)/(√100)=(√30)/10

=5.477225575051661134569697828008/10

=0.5477225575051661134569697828008

で、整数にはなりません。整数で表記するなら、

√0.3=√(3/10)=√(30/100)=√(300/1000)=√(3000/10000)・・・・

となるだけです。

Windowsの"電卓"では、"0.3"と入力したあと、"sqrt"と書かれたキーを押せば、計算されます。

平方根の筆算の方法は下記参考URLを見てください。

参考URL:http://homepage1.nifty.com/moritake/sansu/6/heih …
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小数ならわかりますが、整数ですか?


整数で表せというなら(√30)/10なんかがいいかも知れません。
小数なら0.5477225ですね。
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Qx=√2+√3+√5+√7が満たす整数係数方程式は?

x=√2が満たす整数係数方程式は、

x^2-2=0

です。
x=√2+√3が満たす整数係数方程式は、2乗して、

x^2=5+2√6
移項した後に2乗して、
(x^2-5)^2=24
x^4-10x^2+1=0

です。
x=√2+√3+√5が満たす整数係数方程式は、移項した後に2乗して、
x^2+2-2√2=8+2√15
移項した後に2乗して、
(x^2-6)^2=2√2+2√15
x^4-12x^2+36=68+8√30
再び移項した後に2乗すれば結局8次式になります。

では、x=√2+√3+√5+√7が満たす整数係数方程式はどうなるのでしょうか?
方針だけでも教えてください。
移項した後に2乗しても、ルートの個数が減ってくれそうにありません。

さらに、これをどんどん続けることは可能でしょうか?

Aベストアンサー

整数係数方程式が x=√2 という解を持つなら x=-√2 も解となります.
したがって,x=√2が満たす整数係数方程式は、
 (x-√2)(x+√2) = 0
⇔ x^2 - 2 = 0
となります.

同様に考えると x=√2+√3 の場合は
 (x-√2-√3)(x-√2+√3)(x+√2-√3)(x+√2+√3) = 0
⇔ {(x-√2)^2 - 3}{(x+√2)^2 - 3} = 0
⇔ {(x^2-1) - 2√2x}{(x^2-1) + 2√2x} = 0
⇔ (x^2-1)^2 - 8x^2 = 0
⇔ x^4-10x^2+1=0
となります.

以下同様に,
 x=√2+√3+√5
の場合は
 x=±√2±√3±√5
という8個の解を持つ8次方程式,
 x=√2+√3+√5+√7
の場合は
 x=±√2±√3±√5±√7
という16個の解を持つ16次方程式を考えることで
整数係数の方程式を得ることが出来ます.

Qx=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

x=√2の整数部分aは?

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは?

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは?

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをどんどん続けていくと、それぞれの項を小数第二位まで求める必要が出てくると思います。

どんどん続けていくと、その都度、それぞれの項を精密に考え直さなくていけなくて、しかも、小数第何位まで精密に考えなくてはいけないのかなど、自明ではないので、そんないいやり方ではないと思っています。

もっと、いい求め方がありましたら、概略だけでも教えていただきたく思います。

x=√2の整数部分aは?

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは?

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは?

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをど...続きを読む

Aベストアンサー

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}([x]は整数部分、{x}は小数部分)
0<{x}<0.5のとき x=[x]
0.5<{x}<1のとき x=[x]+1 を代入

√2に1、√3に2、√5に2、√7に3
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第2位まで近似計算して、第2位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√5に2.2、√7に2.6
を代入するといった具合です。

この方法のもとなるのは
xの小数部分が区間[0,1]に一様に分布するということをつかうのですが、(このことが成り立つかどうか知りませんが)
もし成り立つのならば誤差がならされて大きな項数を加えるときそう大きな誤差にはならないはずです。

1から100までの素数の平方根でやってみると
√2+√3+√5+……+√97=150.288
整数近似のほうは150,小数点第一位近似では150.2
とかなり良い値が得られました。
もちろんこれから整数部分が150という結論は出てこないですが(この場合ちょっとうまくいきすぎでもっとずれる可能性もある)、大体の値を得られるでしょう。確率論を使うとどれくらいの確率でこれこれの範囲内に真の値があると計算できると思います。

外の例でもためしましたが、場合によっては結構誤差が大きくなったりします。
あまり役に立たないかもしれません。

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}([x]は整数部分、{x}は小数部分)
0<{x}<0.5のとき x=[x]
0.5<{x}<1のとき x=[x]+1 を代入

√2に1、√3に2、√5に2、√7に3
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第2位まで近似計算して、第2位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√5に2.2、√7に2.6
...続きを読む

Q√2-√3-√5+√7+√11-√13<0の証明

√2-√3-√5+√7+√11-√13<0
なのですが、これを計算機を使わないで証明するにはどうすればいいのでしょうか?

数値は適当なので、方針を教えていただきたいです。
根号が5つまでなら、同値変形で移項そして2乗を繰り返していくことによって、整数同士の大小に還元できます。
しかし、根号が6つだとどのように示していけばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

√13 - √11
= (13 - 11) / (√13 + √11)
> 2 / (2√13)
= 1 / √13
より、

√2 - √3 - √5 + √7 + √11 - √13
< √2 - √3 - √5 + √7 - (1 / √13)
= (√26 - √39 - √65 + √91 - 1) / √13
となって、

√26 - √39 - √65 + √91 - 1 の正負に帰着される。
あとは、御存知の方法で。

Q√2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体上線形独立

文字を有理数として、
a√2+b√3+c√5+d√6+e√7+f√10=0
ならば
a=b=c=d=e=f=0
を示したいのです。

平方根の中身は、平方因数を外にくくりだしたとき、中身が異なるものであればなんでもいいです。
個別の数値の性質を用いるのではなく、できるだけ一般的に示したいのですが、証明がわかる方は教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

一般的に示したいなら代数拡大の理論を使えばいいのではないでしょうか。

例えば上記の問題の場合、√2,√3,√5,√6,√7,√10は全てQ[√2,√3,√5,√7]に含まれており、
Q[√2,√3,√5,√7]/Qは次数16の代数拡大です。
この拡大を次数2の4つの体の拡大の列に分解すればQ[√2,√3,√5,√7]のQ上の基底を計算で求められます。
特にその基底の中に√2,√3,√5,√6,√7,√10が全てはいるのでこれらはQ上一次独立です。

この方法なら数字が変わっても、数字の個数が増えても計算がややこしくなりますが証明することができます。

Q√xが整数 (x=y^2+3n+54 yは自然数)になるyはいくつでし

√xが整数 (x=y^2+3n+54 yは自然数)になるyはいくつでしょうか

Aベストアンサー

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