D:[x^2+y^2=a^2]上の曲面z=tan^(-1)y/xを求める問題で・・・
極座標(x=rcosθ・・・)変換して計算すると途中で√(1+r^2)というのが出てきます。それを
t-rとおいて両辺を二乗してrを出します。それをごちゃごちゃ計算して・・・∫√(1+r^2)dr=・・・=1/4{t^2/2+2logt-1/2t^(-2)}と、なり代入し直して∫√(1+r^2)dr=1/8{(√(1+r^2)+r)^2-1/(√(1+r^2)+r)^(-2)}+1/2log{r+log√(1+r^2)}長くなってすみません・・・これでいいのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ほぼ合ってます。
√(1+r^2)=t-rの変換、どうして解ったんですか?。不定積分として
I=∫√(1+r^2)dr=1/4{t^2/2+2logt-(1/2)t^(-2)}
は合ってます。あとはtをrにもどして
I=(1/4){{(r+√(1+r^2)}^2/2+2log|r+√(1+r^2)|-(1/2)(r+√(1+r^2)}^(-2)}
ここでポイントは最後の項です。
I3=-(1/2)(r+√(1+r^2)}^(-2)
この式の分子・分母に(r-√(1+r^2)}^2を掛けまっす。すっと
I3=-(1/2)(r-√(1+r^2)}^2となり、Iの第一項と相殺すると
I=(1/2){(r√(1+r^2))+log|r+√(1+r^2)|}
現在、酔っぱらい中であるが何故か自身あり。( ̄ー ̄)
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