下記の問題があり、一応解答をしたのですが、自信がありません。
この答えであってるのでしょうか?
分かる方、教えてください。
fを集合Aから集合Bへの写像、A1、A2をAの部分集合とする。
f( A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)を証明せよ。
A1∪A2のBへの写像をB1とする。
B1= f( A1∪A2)
A1のBへの写像をB2とする。
B2= f(A1)
A2のBへの写像をB3とする。
B3= f(A2)
Aの異なる要素の写像は一致するため
B1= B2= B3
よって、f( A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)となる。

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A 回答 (1件)

はじめまして。

ではさっそく証明してみましょう
証明
集合論で等号を示すときは包含関係を考えます
・f( A1∪A2)⊂f(A1)∪f(A2)から示します
y∈f( A1∪A2)を任意にとってくると
あるx∈A1∪A2があってy=f(x)とかける
またx∈A1 or x∈A2 のいずれかが成り立ちます
どちらでも同じなのでx∈A1として一般性を失わない
するとf(x)∈f(A1)
よってy=f(x)∈f(A1)∪f(A2)よりOK

・f( A1∪A2)⊃f(A1)∪f(A2)を示します
y∈f(A1)∪f(A2)を任意にとると
y∈f(A1)としても一般性を失わない
あるx∈A1があってy=f(x)とかける
x∈A1からx∈A1∪A2が従います
よってf(x)∈f(A1∪A2)

以上より
f( A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)が示せました

それとあなたの解答はちょっとまずいです
まず気になったのが
>A1∪A2のBへの写像をB1とする。
というのですが写像というのは値域の間違いですよね?
そう思ってよんでいっても
>Aの異なる要素の写像は一致するため
>B1= B2= B3
ここがちょっと説明不足です

また何かわからないことがあったら聞いてください
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この回答へのお礼

有難うございました。
本当に助かりました。これからも宜しくお願いします(^^ゞ

お礼日時:2002/01/22 22:20

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