経営数学その３

証券Ａ、Ｂ、Ｃのリターン(％)は今後の経済環境の状態に依存して以下のように確率的に変動すると仮定する。

　 　　状態１ 　状態２
証券Ａ 　　０ 　　２０
証券Ｂ 　　３　　　５
証券Ｃ 　１２ 　　　２
確率　　０．５ 　０．５

(7)証券Ａ、Ｂ、Ｃをそれぞれ1/3ずつ組み入れたポートフォリオについて、そのリターンの期待値と標準偏差を計算せよ。

(8)証券Ａを1/2、証券ＢとＣをそれぞれ1/4ずつ組み入れたポートフォリオについて、そのリターンの期待値と標準偏差を計算せよ。また、証券Ｂを1/2、証券ＡとＣを1/4ずつ組み入れたポートフォリオおよび証券Ｃを1/2、証券ＡとＢを1/4ずつ組み入れたポートフォリオについても、そのリターンの期待値と標準偏差を計算せよ。

(9)証券Ａと証券Ｃからリスクのない（標準偏差が0となる）ポートフォリオを組むには、それぞれの証券の組み入れ比率をいくらにすべきか。

(10)ある投資家の効用は、(ポートフォリオの期待リターン)-(ポートフォリオの期待リターン)２/30-(ポートフォリオのリターンの分散)/30、という式によって定まるとする。(7)(8)(9)で取り上げたポートフォリオの中、この投資家の効用を最大にするものはどれか。

No.1 ベストアンサー 回答者： mamof 回答日時： 2002/02/04 00:38

問題を回答させていただきます。

問題（７）
リターンの期待値＝（状況１のポートフォリオの収益率）×０．５＋（状況２のポートフォリオの収益率）×０．５＝{(1/3）×０＋（１／３）×３＋（１／３）×１２ ｝×０．５＋｛(1/3）×２０＋（１／３）×５＋（１／３）×２ ｝×０．５＝７.００
標準偏差＝｛０．５×（リターンの期待値ー状況１のポートフォリオの収益率）＾２＋０．５×（リターンの期待値ー状況２のポートフォリオの収益率）＾２｝＾１／２＝２.００

問題（８）
証券Ａを1/2、証券ＢとＣをそれぞれ1/4ずつ組み入れたポートフォリオのリターンの期待値と標準偏差は
リターンの期待値＝{(1/２）×０＋（１／４）×３＋（１／４）×１２ ｝×０．５＋｛(1/２）×２０＋（１／４）×５＋（１／４）×２ ｝×０．５＝７．７５
標準偏差＝｛０．５×（７．７５ー３．７５）＾２＋０．５×（７．７５ー１１．７５）＾２｝＾１／２＝４.００
同様に、
証券Ｂを1/2、証券ＡとＣを1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、
リターンの期待値＝６．２５
標準偏差＝１．７５
証券Ｃを1/2、証券ＡとＢを1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、
リターンの期待値＝７．００
標準偏差＝０．２５

問題（９）
リターンの期待値＝状況１のポートフォリオの収益率＝状況２のポートフォリオの収益率
となるときに、リスクは最小化され、標準偏差は０となる。
証券A、Ｂ、Ｃを入れる割合をそれぞれａ、ｂ、ｃとすると、
ａ＋ｂ＋ｃ＝１・・・・・(1)
リターンの期待値＝状況１のポートフォリオの収益率＝状況２のポートフォリオの収益率より
０．５×（０×ａ＋３×ｂ＋１２×ｃ）＋０．５×（２０×ａ＋５×ｂ＋２×ｃ）＝０×ａ＋３×ｂ＋１２×ｃ＝２０×ａ＋５×ｂ＋２×ｃ・・・・・(2)
これらをａ、ｂ、ｃについて解くと、
ａ＝１／３、ｂ＝０、Ｃ＝２／３となり、証券Ａ，Ｂ，Ｃについて、それぞれこの割合を組み入れれば良い事になる

問題（１０）
ある投資家の効用＝(ポートフォリオの期待リターン)-(ポートフォリオの期待リターン)２/30-(ポートフォリオのリターンの分散)/30
を各場合において当てはめて計算してみると、
問題（７）の場合、投資家の効用＝７．７５－７．７５×２／３０－２＾２／３０＝６．４
同様に、
問題（８）において、
証券Ａを1/2、証券ＢとＣをそれぞれ1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、投資家の効用＝６．７
証券Ｂを1/2、証券ＡとＣを1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、投資家の効用＝２．７７
証券Ｃを1/2、証券ＡとＢを1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、投資家の効用＝６．４７
問題（９）の場合、投資家の効用＝７．４６

以上より、投資家の効用を最大にするのは『問題（１０）』の場合である。

計算過程も明記し、少々長くなりましたが、ご確認ください。