証券A、B、Cのリターン(%)は今後の経済環境の状態に依存して以下のように確率的に変動すると仮定する。

    状態1  状態2
証券A   0   20
証券B   3   5
証券C  12    2
確率  0.5  0.5

(7)証券A、B、Cをそれぞれ1/3ずつ組み入れたポートフォリオについて、そのリターンの期待値と標準偏差を計算せよ。

(8)証券Aを1/2、証券BとCをそれぞれ1/4ずつ組み入れたポートフォリオについて、そのリターンの期待値と標準偏差を計算せよ。また、証券Bを1/2、証券AとCを1/4ずつ組み入れたポートフォリオおよび証券Cを1/2、証券AとBを1/4ずつ組み入れたポートフォリオについても、そのリターンの期待値と標準偏差を計算せよ。

(9)証券Aと証券Cからリスクのない(標準偏差が0となる)ポートフォリオを組むには、それぞれの証券の組み入れ比率をいくらにすべきか。

(10)ある投資家の効用は、(ポートフォリオの期待リターン)-(ポートフォリオの期待リターン)2/30-(ポートフォリオのリターンの分散)/30、という式によって定まるとする。(7)(8)(9)で取り上げたポートフォリオの中、この投資家の効用を最大にするものはどれか。

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A 回答 (1件)

問題を回答させていただきます。


問題(7)
リターンの期待値=(状況1のポートフォリオの収益率)×0.5+(状況2のポートフォリオの収益率)×0.5={(1/3)×0+(1/3)×3+(1/3)×12 }×0.5+{(1/3)×20+(1/3)×5+(1/3)×2 }×0.5=7.00
標準偏差={0.5×(リターンの期待値ー状況1のポートフォリオの収益率)^2+0.5×(リターンの期待値ー状況2のポートフォリオの収益率)^2}^1/2=2.00

問題(8)
証券Aを1/2、証券BとCをそれぞれ1/4ずつ組み入れたポートフォリオのリターンの期待値と標準偏差は
リターンの期待値={(1/2)×0+(1/4)×3+(1/4)×12 }×0.5+{(1/2)×20+(1/4)×5+(1/4)×2 }×0.5=7.75
標準偏差={0.5×(7.75ー3.75)^2+0.5×(7.75ー11.75)^2}^1/2=4.00
同様に、
証券Bを1/2、証券AとCを1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、
リターンの期待値=6.25
標準偏差=1.75
証券Cを1/2、証券AとBを1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、
リターンの期待値=7.00
標準偏差=0.25

問題(9)
リターンの期待値=状況1のポートフォリオの収益率=状況2のポートフォリオの収益率
となるときに、リスクは最小化され、標準偏差は0となる。
証券A、B、Cを入れる割合をそれぞれa、b、cとすると、
a+b+c=1・・・・・(1)
リターンの期待値=状況1のポートフォリオの収益率=状況2のポートフォリオの収益率より
0.5×(0×a+3×b+12×c)+0.5×(20×a+5×b+2×c)=0×a+3×b+12×c=20×a+5×b+2×c・・・・・(2)
これらをa、b、cについて解くと、
a=1/3、b=0、C=2/3となり、証券A,B,Cについて、それぞれこの割合を組み入れれば良い事になる

問題(10)
ある投資家の効用=(ポートフォリオの期待リターン)-(ポートフォリオの期待リターン)2/30-(ポートフォリオのリターンの分散)/30
を各場合において当てはめて計算してみると、
問題(7)の場合、投資家の効用=7.75-7.75×2/30-2^2/30=6.4
同様に、
問題(8)において、
証券Aを1/2、証券BとCをそれぞれ1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、投資家の効用=6.7
証券Bを1/2、証券AとCを1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、投資家の効用=2.77
証券Cを1/2、証券AとBを1/4ずつ組み入れたポートフォリオの場合、投資家の効用=6.47
問題(9)の場合、投資家の効用=7.46

以上より、投資家の効用を最大にするのは『問題(10)』の場合である。

計算過程も明記し、少々長くなりましたが、ご確認ください。
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Q母標準偏差・標本標準偏差と標本平均(Xバー)の標準偏差

(聞きたいのは、最後の3行がメインです)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3478996.html
の質問をしたものです。

標準偏差を求めるとき、(ルートの中の)分母が「n」か「n-1」
の2種類があることはわかりました。
母標準偏差であっても標本標準偏差であっても「n」で求められる
が、標本から母標準偏差を推定するときが「n-1」を使うという
ことで理解しました。

ところで、「n」にしても「n-1」にしてもそんなに値としては
変わらないということなんですよね?

高校の時の教科書で、「標本平均(Xバー)の標準偏差」という
のがありました。
 「母平均m、母標準偏差sの母集団から大きさnの無作為標本
 抽出するとき、標本平均Xバーの標準偏差σ=s/(ルートn)」
というのがありました。
 「標本標準偏差」とこの「標本平均Xバーの標準偏差」というの
は全然違うものなんですよね?(値も全然違うものになってしま
うと思います。)

Aベストアンサー

 統計学での目的は、集団全体のこと、すなわち母集団について知ることです。

 標準偏差は、集団のばらつきの程度を示し、本当に知りたいのは母集団の標準偏差、すなわち、母標準偏差です。しかし、母標準偏差が現実には求められない場合があります。一つは標本数が多すぎる場合、もう一つは蛍光灯の寿命のように全てを調べると商品が残らなくなつてしまう場合です。
 そこで、仕方なくその一部を取り出す(=抽出して)、母集団のバラツキを推定します。母集団を推定するためには、いくつかを標本として選び、その標準偏差、すなわち標本標準偏差(不偏標準偏差ともいう)を代わりに用いることになります。標本は、ランダムサンプリングをするので、選ぶたびに異なり、そのバラツキは母集団とは同一の標本にはなりません
 そこで、母標準偏差はnで割るので、標本標準偏差はn-1で割っておけばやや広い範囲になるので、標本の選択が少々不味くても、広めに取ってあるのでカバーできることになります(数学的には証明できるようですが、私には無理なので、直感的に表現しました)。もちろん、標本数が大きければ、nであろうが、n-1であろうが大差はありません。このようにして、計算が非現実的な母集団のバラツキを推定するわけです。標本標準偏差は、母標準偏差の代理なのです。

>標本平均Xバーの標準偏差
 標準偏差は、母集団のバラツキを示します。標本標準偏差は、母集団のバラツキの推定値です。
 これは、標準誤差で、母集団から抽出した「標本の平均値のバラツキ」を示しています。平均ですから、再度nで割り算することになります。外国人の論文には、バラツキがグラフ上などでは小さく見えるので、標本標準偏差(母集団のバラツキの推定値)ではなく、この標準誤差(標本の平均値のバラツキ)で示したものを見かけます。

 なお、標準偏差は、英語ではStandard Deviation、エクセルではSTDEVPでPの根拠が不明。標準誤差は、英語ではPartial Standard Deviation、エクセルはSTDEVで、Patialの単語の部分が見当たりません。エクセルの関数を使うときは、逆にやりそうで、いつも混乱しています。

 統計学での目的は、集団全体のこと、すなわち母集団について知ることです。

 標準偏差は、集団のばらつきの程度を示し、本当に知りたいのは母集団の標準偏差、すなわち、母標準偏差です。しかし、母標準偏差が現実には求められない場合があります。一つは標本数が多すぎる場合、もう一つは蛍光灯の寿命のように全てを調べると商品が残らなくなつてしまう場合です。
 そこで、仕方なくその一部を取り出す(=抽出して)、母集団のバラツキを推定します。母集団を推定するためには、いくつかを標本として選び、...続きを読む

Q平均値、標準偏差、幾何平均、幾何標準偏差の推定

数学素人でさっぱり意味が分かりません。
分布なのですが、一部書き込みます。
A  累積分布  確率密度
1   0.0009329 0.0009329
2  0.0012776 0.0003447
4  0.0023306 0.0010530
6  0.0040988 0.0017682
8  0.0069518 0.0028531
10  0.0113821 0.0044303
~   ~     ~
28  0.4085144 0.0898605
30  0.5000000 0.0914856
32  0.5882070 0.0882027
~   ~     ~
68  0.9995101 0.0002532
70  0.9996741 0.0001640
80  0.9999535 0.0002795
100 0.9999989 000000453

Aを正規分布で近似した場合、平均値と標準偏差の推定
Aを対数正規分布で近似した場合、幾何平均と幾何標準偏差の推定
エクセルにデータ入れて計算しようとしてるのですが、方法が分かりません。どのように計算すれば良いのでしょうか?全く知識ないのですみませんが御教授してください。(何か計算に足りない物があれば指摘下さい)

数学素人でさっぱり意味が分かりません。
分布なのですが、一部書き込みます。
A  累積分布  確率密度
1   0.0009329 0.0009329
2  0.0012776 0.0003447
4  0.0023306 0.0010530
6  0.0040988 0.0017682
8  0.0069518 0.0028531
10  0.0113821 0.0044303
~   ~     ~
28  0.4085144 0.0898605
30  0.5000000 0.0914856
32  0.5882070 0.0882027
~   ~     ~
68  0.9995101 0.0002532
70  0.9996741 0.0001640
80  0.9999535 ...続きを読む

Aベストアンサー

【解ければ何でもいいよ、という場合】

以下のページを参考に。ほとんど何も考えずにフィット完了。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/Hanasi/StatTalk/solver.html

対数正規分布にする場合は
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/log-normal.html
幾何平均と幾何分散は真ん中あたりにちょろっと書いてある。分散→標準偏差に直すこと。
Aはすでに対数であると仮定して話を進めれば、フィッティングは普通の正規分布で出した結果を使い、それを対数正規分布だったと読み替えるだけ。

統計学自習ノート@群馬大青木研はネットで統計やるとき最も支持されている教科書だからブックマークしておくとよい。



【考えて解きたい場合】

正規分布の定義は以下の式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83

フィッティングはとりあえず最小二乗法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%B3%95

Σ[i=0→n](yi-f(xi))^2
の最小値問題に帰着できる、と。

私はこの方法やったことないけど。もっと強引な近似でやってるが、統計の授業では教えてはいけない気がするので却下。

http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lms/lms1.html
も参照(ただし直線近似なので参考にしかならず)

【解ければ何でもいいよ、という場合】

以下のページを参考に。ほとんど何も考えずにフィット完了。
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/Hanasi/StatTalk/solver.html

対数正規分布にする場合は
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/log-normal.html
幾何平均と幾何分散は真ん中あたりにちょろっと書いてある。分散→標準偏差に直すこと。
Aはすでに対数であると仮定して話を進めれば、フィッティングは普通の正規分布で出した結果を使い、それを対数正規分布だったと読み替えるだけ。

統計学自...続きを読む

Q[QC]個別の製品の標準偏差からN個入りの製品の標準偏差を算出するには?

品質管理分野で使用する標準偏差について教えてください。

何が目的かといいますと、菓子(ドロップ)の入り数を変更(たとえば10個→20個)
した場合の製品の重量管理値(ウェイトチェッカの設定値)をいくらに
すればよいのか知りたいのです。

個別の製品(ドロップ1個)の重量平均値M1とその標準偏差σ1が既知として、
(厳密にはσ1はたとえば100個の製品の重量測定値からの推定した母集団の標準偏差(分母が100-1))
この製品をN個詰めにした製品の標準偏差σNはいくらになりますでしょうか?
(1)簡単のためにN個詰めにする容器の重量を0とした場合。
(2)N個詰めにする容器の重量平均値をMp、容器重量の標準偏差をσpとした場合(pはpackageのp)。


(1)の場合はMN=N×M1,σN=(√N)×σ1 で良いのでしょうか?
(2)の場合はM=MN+Mp,σ=(σp+σN)/(√2) で良いのでしょうか?

どなたかご回答いただければ助かります。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>それとも気のせいなのでしょうか?
気のせいです。(個々の菓子のばらつきが無相関であれば)Nの値に関係なく、なりたちます。

ばらつきの話は、標準偏差で考えるとややこしいです。分散(=標準偏差の2乗)で考えましょう。

2つの無相関な確率変数XとYがあるとき、Xの分散をV(X)、Yの分散をV(Y)とするとき、
Z = a*X + b*Y (a,bは定数)
の分散は
V(Z) = a^2*V(X) + b^2*V(Z)
となります。

Q(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)でa,b,c,dがそれぞれ異なる自然数の時

(a+c)(a-c)=x
(d+b)(d-b)=x
とした時、xが成立する最小の自然数は15だというのはわかるのですが、それを証明する術を教えてください。

Aベストアンサー

命題はつぎのように書けます。
 自然数xは、2通りの自然数の積で表せる。
 それぞれの積は、別の自然数の和と差で表せる。
 このような自然数xのうち最小のものは15である。

1から15までで考えればいいので、全部確認してもいいと思いますが、条件を絞っていきます。

No.1さんのいうように
 xは、奇数か、4の倍数 (1)
2通りの積で表せることから
 xは素数ではない   (2)
 xは素数の2乗ではない (3)
以上より、候補は8か15になります。
 8=8x1=4x2
 15=15x1=5x3
別の自然数の和と差の積であることから、
 x=奇数x奇数 または 偶数x偶数
になり、候補は15のみになります。
 実際に別の自然数の和と差の積で表せるか確認すると
(a,c,b,d)=(8,7,4,1)
となることがわかり、条件を満たす最小値は15であることが分かります。

Q期待値、標準偏差について

A氏は、上場企業でα工業への投資を検討している。A氏が同社の過去1年間の週末終値ベースの騰落率の分布を作成したところ、下表のようにまとめることができた。(表は写真)

この問題の期待値と標準偏差にしたがい連続正規分布すると仮定するとき、騰落率が5.0%以上となる確率は何%ですか?
という問いで、期待値は3.8%、標準偏差は4.556%と分かったのですが、騰落率が5%以上となる確率が分かりません。 どう計算すればよいでしょう?

Aベストアンサー

こちらの質問の回答に、「平均値(期待値)」と「標準偏差」の関係を答えておきましたので、同じように「標準正規分布表」から読み取ってみてください。

今回のは、標準偏差が「4.556%」だそうですので、「5%」は、「期待値」3.8%に対して、標準偏差の
 ( 5 - 3.8 ) / 4.556 ≒ 0.2634
倍だけ大きい値ということです。つまり標準偏差を σ と書いて
 5% = 3.8% + 0.2634σ
ということです。

下記の標準正規分布表から z=0.26 の数値を読み取ってください。(この桁までしか表には記載されていませんので)
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

「0.397432」と記載されていますが、有効数字は2桁ぐらいでしょうか。

ただし、このデータは、正規分布からはかなり外れている気がします・・・。


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