粘性流体に重力以外の外力がかかった場合ナビエ・ストークスの式は
どうなるんでしょうか?
例えば,溶融金属をガスによって吹き飛ばす場合どうなるんでしょうか?

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A 回答 (2件)

No.1の訂正。


境界条件を与えますが、初期条件を与えて時間発展を追う問題のようですから、混合問題ということになるのかな。

それから少し補足。
ナビエ・ストークス方程式の中に、外からガスを当てる場合のような外力の変数がないので、計算のしようがないではないか、ということが言いたいのですね。
しかし、この場合、外から加えた力は重力のように直接流体の内部に力を及ぼしませんね。(重力を除けば)流体の内部では、そのまわりの流体から力を受けて運動するだけです。ですからナビエ・ストークス方程式はそのまま使えます。また、外からの力で、もちろん流体の内部の運動は影響を受けますが、それは、境界条件によって影響を受けたと考えればいいですね。
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ナビエ・ストークス方程式を解くときに、(溶融金属のまわりの圧力、といった)境界条件を設定してやって、境界値問題を解けばいいのだと思います。


あげられた例は難しそうですね。何らかの簡単化されたモデルを使わないといけないでしょう。
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4次のルンゲクッタ法を用いた数値計算を勉強しています.
1階連立常微分方程式と高階常微分方程式は理解でき,プログラムも作成することができました.

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4次のルンゲクッタ法を用いて高解連立常微分方程式を解く考え方を教えて頂ければ嬉しいです.
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よろしくお願いします.

Aベストアンサー

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たとえば、
x''+2y''+3x'y'=0
x''+4x''+5x'+6y'+7x+8y=0
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z=x' , w=y'
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z'+4w'+5z+6w+7x+8y=0
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Q流体力学の粘性応力における体積変化の式について

粘性応力の式において、垂直方向の応力に関して、体積変化を表す項があるかと思います。

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この式がどのようにして導出されたのかがよくわかりません。
図形的にはどのようなイメージなのでしょうか?

あと、div u(vと書いてある時もあります)についてなのですが、これは何なのでしょうか?
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さらに、この速度ベクトルuがu(u,v,w)のように成分を持っているのはなぜなのでしょうか?

わからないことだらけでお恥ずかしいのですが、どなたか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

#1です.

間違いがありましたので,訂正致します.(下記は訂正後です.)

流入時には,密度ρ,速度u
流出時には,密度ρ’=ρ+(∂ρ/∂x)dx,u’=u+(∂u/∂x)dx

微小要素内で,x軸に垂直な面(面積dydz)を介した流体の増減は,
ρ’u’dydz - ρudydz

上記をx,y,zについて合わせて式を展開しますが,その過程で,
ρを一定とする,両辺に出て来るdxdydzは約分する,とすれば,
ご質問の式が導かれます.

要するにこの式は,微小要素内の「質量保存則」を表していることになります.
(この式自体は,粘性流体に限らず,一般的なものです.)

あと,divについて今一度.
お風呂の浴槽を考えて下さい.これが微小要素(又は検査領域)であるとお考え下さい.

栓をして満杯に溜めているとします.
そこへ蛇口から更に水を入れます.これが流入です.
溢れた水は浴槽からこぼれだします.これが流出です.
このとき,栓をしたままであれば,divは0です.
しかし栓を開けるとdivが0ではなくなります.
このとき,もし水位が下がったり,或いは逆に依然溢れ続けていたりしても,
蛇口,排水口,溢れ出す分,の合計は0になっています.
ご質問の式では,
蛇口と溢れ出す分が左辺に,排水口の分が右辺になっています.

#1です.

間違いがありましたので,訂正致します.(下記は訂正後です.)

流入時には,密度ρ,速度u
流出時には,密度ρ’=ρ+(∂ρ/∂x)dx,u’=u+(∂u/∂x)dx

微小要素内で,x軸に垂直な面(面積dydz)を介した流体の増減は,
ρ’u’dydz - ρudydz

上記をx,y,zについて合わせて式を展開しますが,その過程で,
ρを一定とする,両辺に出て来るdxdydzは約分する,とすれば,
ご質問の式が導かれます.

要するにこの式は,微小要素内の「質量保存則」...続きを読む

Q数学II 式の計算と方程式

数学II 式の計算と方程式

二次方程式 x~2-3x+1=0 の解をa,bとするとき、a~2,b~2を解とする二次方程式を2つ求めよ。

という問題なのですが、解と係数の関係からa+bとabをもとめてみたもののどうにもなりません。

アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

No.2です。
No.2の要領でひとつ目の二次方程式をもとめたなら、
その式のグラフのx軸に関して対象なグラフの式がもうひとつです。
具体的にはひとつ目の式のx~2の係数が符号反対で
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あとはご自分で。

これで正解だと思います...
もう遅いかもしれませんがせっかく解いたので。

Q粘性流体が及ぼす摩擦応力の向き

粘性流体が及ぼす摩擦応力の向き


ーーーーーーーーーー

H     →            y
↓                 ↑
ーーーーーーーーーー        →x


上図のような高さHで平行な2つの壁に挟まれた領域に流体が右に向かって流れている場合を考えます。座標軸は図のように下の壁にそって原点を置きました。
このとき流体が隔壁に及ぼすせん断応力を考えるのですが、

τ=μ(du/dy)       (u:x方向の流速、τ:せん断応力)

よりτ=[α(2y-H)]/2     (α<0:圧力勾配)
と導きました。
ここで、y=Hを代入するとτ=αH/2となり、なぜか上側の壁面では流れと逆の方向にせん断応力が働いてしまいます。ちなみにy=0を代入するとτ=-αH/2となり流れの向きと同じ方向に働きました。図を見る限り、上側も下側もX軸正の方向にせん断応力が働きそうなのに、上側の壁では負の向きになるのはどうしてなのでしょうか?式でそうなるのは分かるんですが、どうしてもイメージできません。
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粘性流体が及ぼす摩擦応力の向き


ーーーーーーーーーー

H     →            y
↓                 ↑
ーーーーーーーーーー        →x


上図のような高さHで平行な2つの壁に挟まれた領域に流体が右に向かって流れている場合を考えます。座標軸は図のように下の壁にそって原点を置きました。
このとき流体が隔壁に及ぼすせん断応力を考えるのですが、

τ=μ(du/dy)       (u:x方向の流速、τ:せん断応力)

よりτ=[α(2y-H)]/2     (α<0:圧力勾配)
と導きまし...続きを読む

Aベストアンサー

u:x方向の流速
u(y)= α(y^2-Hy)/2μ    α = dp/dx
ですから、これをτ=μ(du/dy)に代入して計算すると
τ=[α(2y-H)]/2 

y=H の時 τ= αH/2
y=0 の時 τ=-αH/2

u(y)はy = H/2 で最大速度を持つ上下に対称な2次曲線ですから、
上側も下側もX軸正の方向にせん断応力が働きそうなのに,
あれあれですね。

今流れ y = H/2 の中に平行して走る2枚の流れの層L1(下),L2(上)
を考えてみます。

L1とL2が流れの中心線の下側に有る時は、
L2はL1より早く流れています。
つまり、L2はL1を引きずっています。

L1とL2が流れの中心線の上側に有る時は、
L2はL1より遅く流れています。
つまり、L2はL1に引きずられています。


L2~L1 = Δy = dy ですから、
「引きずっている」と「引きずられている」の違いが符号の
反転で表されていると見ることができます
(y = 0 からスタートした時の)。
u(y) がy = H/2 を境に増加から減少に転じている為と
見ることもできます。

u:x方向の流速
u(y)= α(y^2-Hy)/2μ    α = dp/dx
ですから、これをτ=μ(du/dy)に代入して計算すると
τ=[α(2y-H)]/2 

y=H の時 τ= αH/2
y=0 の時 τ=-αH/2

u(y)はy = H/2 で最大速度を持つ上下に対称な2次曲線ですから、
上側も下側もX軸正の方向にせん断応力が働きそうなのに,
あれあれですね。

今流れ y = H/2 の中に平行して走る2枚の流れの層L1(下),L2(上)
を考えてみます。

L1とL2が流れの中心線の下側に有る時は、
L2はL1より早く流れています。
つまり、L2はL1を引きずっています。

L1とL2が...続きを読む

Q常微分方程式の数値計算

実験で常微分方程式の数値計算をしました

y'(x)=2xy,y(0)=1.0(解はy=ex2)←eのx二乗の微分方程式できざみ幅h=0.1、区間〔0,2〕の条件で
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何かいい方法はないでしょうか?

Aベストアンサー

No.8の補足への回答です。

>k1=Δt*(tan(x))^2*x*y
>k2=Δt*(tan(x))^2*(x+Δt/2)*(y+k1/2)
>でいいのでしょうか?

ちがいます。

(ア)f(t,x) = (tan(t))^2 の場合は、

k1=Δt*(tan(t))^2
k2=Δt*(tan(t + Δt/2))^2

(イ)f(t,x) = (tan(x))^2 の場合は、

k1=Δt*(tan(x))^2
k2=Δt*(tan(x + k1/2))^2

ところで、問題から見て、(ア)が正しいはずなのですが、もう一度確認していただけませんか?
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Q粘性と粘性減衰係数の関係について

粘性と粘性減衰係数の関係について
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Aベストアンサー

[参考サイト]
(1) http://homepage3.nifty.com/skomo/f27/hp27_6.htm
(2) http://www.jsme.or.jp/monograph/dmc/1998/100/121.PDF
あたりでどうでしょう。
文献(2)は,#3の式をもっとも初歩的な式として紹介した上で,乱流の場合など詳細に検討しています。学会発表なので信頼できそうです。

Qこの方程式は、計算機なしでいける?

1/x + sinxe^cosx = 0

・・・この方程式を、計算機を使わずに人力で解く方法はありますか?

Aベストアンサー

解析的には解けませんね。
数値計算で解くのであれば解けます。
高校の数学で習う?ニュートン法(ニュートン・ラプソン法とも呼ばれている)を使えば、かなり正確な数値解が得られると思います。
x=pが方程式の解なら、x=-pも解になる。解は正負組の解が無限に存在します。

ニュートン法を使えば、
f(x)=1/x+sin(x)*e^(cos(x))
のグラフの概形を描いて、大雑把な近似解を求め、それを使って計算すればよい。
計算してみると数値解は同じ絶対値の正負の実数解の組が無限に存在するが
絶対値の小さい方から6組計算すると以下のように求められます。
x1,x2=±3.7759...,
x3,x4=±6.2239...
x5,x6=±9.6982...
x7,x8=±12.5370...
x9,x10=±15.8775...
x11,x12=±18.8300...
....
などとなります。

参考URL:http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html

解析的には解けませんね。
数値計算で解くのであれば解けます。
高校の数学で習う?ニュートン法(ニュートン・ラプソン法とも呼ばれている)を使えば、かなり正確な数値解が得られると思います。
x=pが方程式の解なら、x=-pも解になる。解は正負組の解が無限に存在します。

ニュートン法を使えば、
f(x)=1/x+sin(x)*e^(cos(x))
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Q高温の溶融金属から発せられる輻射熱の計算方法について教えてください。

高温の溶融金属から発せられる輻射熱の計算方法について教えてください。

Webでいろいろ調べてみたところ、
1) 面積に比例して輻射熱量が大きくなる
2) 距離の自乗に反比例して、熱源から受ける熱量が少なくなる
という情報を得ることができました。

面積A1、距離L1という条件1があったとして、
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ただ、現状「ある距離Lx」の物体が受ける熱量がいくつになるか?という概念をどう入れればいいのかが
わかりません。
距離の自乗に反比例して熱量が小さくなれば、距離が離れて行った場合、、どこかで輻射熱量が0とできるのかと思うのですが、それはどう考えたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

黒体輻射による熱伝導率ですね。きちんとした理論計算があります。
ついでに、距離と面積ではなく、対象から見た立体角で考えほうが楽です。

もとになるのは量子力学・統計力学の基礎となった有名な実験です。黒体輻射をキーワードに教科書を探してみてください。

余談ですが、理論式をみると「真空断熱魔法瓶」が実は(温度差が大きいときには)良い断熱システムではないことがよくわかります。

Q指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

指数関数の混ざった方程式についての計算なのですが、

y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
(ただし、t=t0の時、y=y0となります。)
c=(y0*e^-rt0)/(m-y0)となるらしいのですが
なぜこうなるのか分かりません。
計算過程を教えてください。

また、このcをy=(Mc*e^rt)/(1+c*e^rt)に代入すると
y=(My0*e^r(t-t0)/(M-y0+y0*e^r(t-t0))となるらしいです。
この計算方法もわからないです。
教えてください。

ちなみにこの計算は人口予測を求めるロジスティック方程式の理論解を導出する過程
ででてくるものです。

Aベストアンサー

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M-y0)
⇔c=y0*T^(-1)/(M-y0)
∴c=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)

 また、この c を c*exp(rt) に代入すると次のようになります。
 c*exp(rt)
=y0*exp(-r*t0)/(M-y0)*exp(rt)
=y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)

 したがって、y はつぎのようになります。
y=M*c*exp(r*t)/{1+c*exp(r*t)}
=M*y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)/[1+y0*exp{r(t-t0)}/(M-y0)]
=M*y0*exp{r(t-t0)}/[(m-y0)+y0*exp{r(t-t0)}]

>y=(Mc*e^rt0)/(1+c*e^rt0)を計算してc=の形にすると
>ただし、t=t0の時、y=y0となります。)

 この式は、次の式のことですね。
  y0=M*c*exp(r*t0)/{1+c*exp(r*t0)}

 ここで計算過程を簡略化させるため exp(r*t0)=T とおきます。
 ∴y0=McT/(1+cT)

 以下、式変形を進めていきます。
 y0=McT/(1+cT)
⇔y0=M{1-1/(1+cT)}
⇔y0/M=1-1/(1+cT)  (M≠0なら)
⇔1/(1+cT)=1-y0/M
⇔1/(1+cT)=(M-y0)/M
⇔1+cT=M/(M-y0)   (分数の分母・分子をひっくり返しても両辺は等しいので。)
⇔cT=M/(M-y0)-1
⇔cT=y0/(M...続きを読む

Q【超臨界流体っていつ学校で習いますか?】高校で習うんですか? なぜ中学のときに超臨界流体の存在を教え

【超臨界流体っていつ学校で習いますか?】高校で習うんですか?


なぜ中学のときに超臨界流体の存在を教えてくれないの?

Aベストアンサー

さあ、習うんじゃない?学校のカリキュラムと先生次第でしょ

>なぜ中学のときに超臨界流体の存在を教えてくれないの?
なぜって、必要ないからじゃない?
昔は中学でも説明はあったけどね


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