1+1=2であることを証明できると聞きましたが
どうやってやるんですか?
虚数を使うとか何とかって言ってたような

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A 回答 (18件中1~10件)

No.l8のDASSさんのコメント、またしてもポイントを突かれちゃいましたね。

大切な部分です。
こんどは "=" についての考察でしょう。

 x=y とは何を言っているのか。これは実は「一階述語論理」の範疇を少し越えているのです。つまり "="の公理というのはちょっくら胡散臭い。それはこういうものです。
「xを含みyを含まない任意の命題A(x)において、xをすべてyに書き換えて得られる命題をA(y)とするとき、x = y とは どんなAを持ってきても、A(x)が成り立つこととA(y)が成り立つ事が同値である(一方が真なら他方も真、一方が偽なら他方も偽である。)ということを表す。」
 つまり、どんなAについても、xとyは同じ性質を示すということを言っているわけです。その帰結として「=の反射則」
x = x
任意の対象xはそれ自身と = で結ばれる、ということ、「=の交換則」
x = y ならば y = x
である。および「=の推移則」
x = y でありしかも y = z ならば x=z
である。が出てきます。

 No.18では 1+1と2を全く無縁のものとして別々に定義しておいて、あとから両者を直接 = で結ぼうとしていますが、そのやりかたですと、あらゆる命題Aについて両者が同じ真・偽の値を示す、ということを証明しなくてはならない。これは容易なことではありません。

 そういうわけでして、stomachman足し算においては、2=S(1)は一応1+1とは別物として定義され、1+1=2は証明を要することでした。
そして両辺が1+1={0,1}, 2={0,1}つまり
{0,1} = {0,1}
であることによって、この証明は完結したんです。

*なお、No.17とNo.l8の間にあった削除されたやりとりは、回答者が自分のHPを紹介するという反則技を使ったために、明らかな規約違反となったもので、決して「議論が白熱しすぎてスレッドが荒れた」ということではありません。数学スレッドに限らず、こう何度も管理部の介入があるのは珍しいですね。
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なかなか白熱した場所でしたね。


私も数学は苦手ながら、一所懸命読ませていただきました。

#17のお礼で述べられているように、「素直に信じていいのかな?」という疑問はあります。

それについて素人的な解釈をさせていただきます。
他の回答者の皆様、違っているようでしたら、訂正をお願いします。

ここに「A」という1個の文字がありました。
もう一つ「A」という1個の文字を横に並べて「A A」としました。
すなわち、”1個+1個 ”です。

上とは別に、「B B」という2個の文字がありました。
これは純然と2個の「B」があるだけです。
すなわち、いきなり ” 2個 ”なのです。
("2"を定義するのに、"1+1"を使わないというところがここらへんでしょうか)

しかし、この2個は、左の「B」1個と、右の「B」1個を足して2個と考えることもできます。

ここで初めて、” 1個+1個=2個 ”という式ができるのではないでしょうか?

”2 ”を考えるのに、ついつい”1+1 ”すなわち、”1から1増えた数”と考えてしまうのでわかりにくいのだと思います。
”1+1=2 ”が当然と思えてしまうのですね。

しかし、”1+1 "ではない、”2 ”の存在を考えると、”1+1 ”と”2 ”が別物であり、それを”= ”で結ぶという事の正当性が見えてくるような気がします。

こんな説明でどうでしょうか?
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No.16 のコメントについて:


どうも、勝手に突走っちゃって申し訳ございませんでした。
本来の目的は、言うまでもなく質問者の疑問解消です。どうか諦めないで「どのあたりが納得行かない」「これはおかしいのでは」とか、具体的な補足をして戴けると良いのですが。
なお、tgbさんは適切な補足質問をしてくれただけであって、バトルでも何でもありませんから、お気遣いなく。

●どこまでを暗黙の了解として使っていいのか。

 核心を突いた疑問です。No.4でaminouchiさんが回答なさっている通り、数学で使う最も基本的な道具立てに何と何があるか、ということをはっきりしておかないと、1+1=2 の証明が証明になっているのかどうか分からなくなります。それをきちんとやるには、大学ノート一冊分ほどの分量が必要になる。
 ですから全部は書けませんが、ここで前提にしているのは、
(1)記号論理のルール (正確には「一階述語論理」というもの。)
(2)集合に関する数個の公理
です。その中で、
・ふつうに物を考える時のような推論が許されています。(ここが実は「何が証明か」ということを定義している部分なので、おろそかにはできないのですが、大学ノートの1/3ぐらいはこれだけで埋まってしまいます。)
・アルファベットの記号で何か、集合を指し示すことが許されています。
・集合の概念、空集合φ、{ } を使った集合の構成、集合同士の演算∪、∩、集合同士の関係⊂、などが定義されており、集合Aとその要素xとの関係 x∈A も使えます。
・さらに関数という概念も定義されています。関数とは、ある集合に別の集合を対応付けるもの、ということですね。
・しかしまだ数というものは定義してない。
従ってこの段階で何か操作の対象となりうるのは集合だけである。
そういう状態でスタートします。

●「カウンター」って言葉について。

[1] ∪は二つの集合を合併させる(ひとつにくっつける)ことを表す記号です。
{ねこ,ぶた}∪{たぬき,さる} = {ねこ,ぶた,たぬき,さる}
という具合。

そして
s(n) = n∪{n}
このs(n) というのが「nの次の数」を作り出す関数です。

[2] s(n)と0=φ(空集合)
を使って、
1 = s(0) = {0}
2 = s(1) = {0,1}
3 = s(2) = {0,1,2}

というふうに自然数を作り出しました。

s(n) = n∪{n}
において、nは集合です。たとえば n = 1 = {0} だとすると、
2 = s(1) = 1∪{1} = {0}∪{1} = {0,1} = {φ,{φ}}
ということになります。つまり{0,1}という集合に2という名前をつけた(2と定義した)わけです。
2は一つの自然数であるけれど、2={0,1}という2つの要素(0と1)を持つ集合、とも見ることができる。
その要素である0, 1は既に定義してあるから2を定義するのに使って構わない。
そして、1は{0}という集合の名前であり、0はφ(要素のない集合)の名前です。だから、
2と {0,1} と{φ,{φ}}はどれも同じものを表しています。

[3] 数を数えること、つまり「1、2、3、…」と唱えるのは、「直前に言った数の、次の数を言う」という操作を繰り返しやっているでしょう。だから、
1= s(0)
2 = s(1)
3 = s(2)
という風に数を並べていく操作と同じです。これは「次の数」を表すs(n)だけあればできる。足し算は必要有りません。このように数を唱えることを、仮に「カウンター」と呼んだに過ぎません。

この回答への補足

わかりました、以上の解説を踏まえて、もう一度皆さんの解答を読み直してみますね
返事は整理がついてから、したいと思います。

補足日時:2002/02/23 14:53
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この回答へのお礼

また、回答が削除されてしまったようですが、そこに載せていただいたURLのページ
全部読みましたが、公理(既に確からしいこと?)とかの話って、もう哲学に近くなってしまって数学の奥深さを思い知らされました。
No.16で説明されてることはとても良く理解できるんですが、正直これを納得してしまっていいのかなって思ってしまうんですよね(疑ってるようで申し訳ないんですがそういうわけではなくて)、でも悩んでも正しく判断する術をもっていないので、これ以上の議論を続けることができません。すみませんが、やっぱり締め切らせていた抱くことにします。もっと高度な数学を勉強してからでないとダメなんでしょうな。おつき合い頂きありがとうございました。

お礼日時:2002/02/27 18:23

No.6で導入したf(n,m,k)の意味を解説します。



************************
 tgbさんのNo.12は単なるミスとは思いません。No.8, No.10, No.12は、No.8にある
> 加法、減法の演算を内包したような得体の知れない関数
> が突然定義される事に引っかかりを感じ
という言葉が示すとおり、f(n,m,k)なる、いかにも人工的・技巧的な関数が天下りで与えられた、という印象から来る自然な疑念であり、それに対する解説としてはNo.9, 11が不満足であるためにNo.12が書かれたと理解しています。質問者であるtaurus4さんも、当然同様の疑念を持ったことでしょう。
 しかしNo.7が削除されるという事態が発生し、No.8における
> 加法、減法の演算を内包したような得体の知れない関数
の意味が不明になってしまいました。つまり「f(n,m,k)の意味の理解を促すこと自体が本サイトの主旨に反する」とサイト管理者から断じられた訳です。このため、No.13では(またしても削除されることを想定しつつ)歯切れの悪いアドバイスをするしかありませんでした。
 で、No.7の削除は承服しがたい干渉であると考えinfo_oshiete@goo.ne.jpに激怒の抗議を送ったところ、暫く時間が掛かりましたが、結局「削除は誤りであった」との回答があり、No.6の末尾に付ける形で回復されました。なお同時にNo.13もこっそり改造されたようです。
 以上、ちと業務連絡っぽいのですが、経緯を説明しないと解説の繋がりが分からなくなってしまうので、やむを得ません。
************************

 かくて、f(n,m,k)の構造とその意味の解説が安心してできる状態になったわけです。では早速。

 幼い子供がこれから足し算を憶えようというときに、どんな風にやるでしょうか。
 3+2をやるには、右手の指を3本出して、左手の指を2本出して、これを並べて数えなおします。「1,2,3,4,5。ねえ、3たす2は5なの?」
指さし数えたいのに両手が塞がっていますから、舌を伸ばしたりして微笑ましいものです。

 もうちょっと成長しますと、指を3本出しておいて、ここに「あと2本、指を追加する」という方法を憶えます。つまり、「(指3本出す)1(と唱えて指4本にする)2(と唱えて指5本にする)」とやって、指の形を見て(数えなくても分かるまでに上達しております)「答は5」。
 ここで「指を追加する」という操作はs(n)と同じであることにお気づきかと思います。s(n)を2回やるのが、2を足す、ということです。つまり
3+2 = s(s(3)) = 5
ですね。f(n,m,k)は、この「もうちょっと成長した子供」のやり方をそのまま真似たに過ぎません。

 f(n,m,k)と、「stomachman足し算」の定義を再掲しますと
●f(n,m,m)=n
●m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
●n+m = f(n,m,0)
です。これを使って3+2をやってみると、
3+2 = f(3,2,0)
= f(s(3),2,s(0)) = f(4,2,1)
= f(s(4),2,s(1)) = f(5,2,2)
= 5
となります。
・f(n,m,k)のnの部分が、「出してある指の数」を表しています。ですから、上記の計算過程でnは3,4,5と増えていきます。
・f(n,m,k)のmの部分は、「指を幾つ追加すれば終わりか」という情報の記憶です。だからずっと変化せず2のままですね。
・f(n,m,k)のkの部分は「幾つ指を追加したか」を数えるカウンターです。すなわち、指を追加する際に「1,2」と唱えることを表しています。
 で、このカウンターが、記憶してある「指を幾つ追加すれば終わりか」という情報と一致したら、追加をやめる。そのときのnが答になっています。これを表す規則が
 f(n,m,m)=n
です。「「記憶」と「カウンター」が同じなら、「出してある指の数」が答である」という事をソノマンマ表している。そして、
 m≠kのとき、f(n,m,k) = f(s(n),m,s(k))
の方は、指を出しながら数を唱える方法を表す規則という訳です。

 以上のように、f(n,m,k)は「案外普通」の事を、記号で表したものに過ぎないんです。もし、子供の足し算のやりかたを、「普通の足し算」と認めるのであれば、以上の議論で「stomachman足し算」はまさにその「普通の足し算」であることが(非形式的にですが)示されています。

 さて、No.6の末尾にある
●g(n,m) = f(0,n,m)
という関数は、言うまでもなく引き算を表しています。
n-m = f(0,n,m)
 これは、まだ「数を逆順に数える」という能力がない子供のやる引き算なんです。たとえば3-1をやるとき、「3のひとつ前は2」という訳には行きません。ではどうするか。
 まず、指を1本出します。そして、これにあと幾つ指を追加すれば3本になるか、というのを数えるのです。つまり「(指1本出す)1(と唱えて指2本にする)2(と唱えて指3本にする)」とやる。で、最後に唱えた数、「2」が答です。
3-1 = f(0,3,1)
=f(s(0),3,s(1))= f(1,3,2)
=f(s(1),3,s(2))= f(2,3,3)
=2
 この場合には、f(n,m,k)のnが、「幾つ指を追加したか」を数えるカウンターです。f(n,m,k)のmは、「指が幾つになったら終わりか」という情報の記憶であり、変化しません。そしてf(n,m,k)のkが「出してある指の数」を表しています。

 なお、当然のことながら、n<mの場合に
n-m = f(0,n,m)
をやると、いつまで経っても終わりません。だから、この関数の定義には手抜きがあるんです。手抜きしないためには、大小関係 < を導入する必要がある。そして、さしあたって足し算には大小関係は必要ないので省いたのです。
 これは裏返せば、「数の大小が判別できる」ということが「自然数の引き算」の前提になっている、という事情を表しています。
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この回答へのお礼

すみません、返事を書こうと思ったんですが、数学の知識がないので回答を見て自分なりに考えてるうちに、tgbさんとstomachmanさんのバトル?見たいな感じになってしまって入り込めませんでした。どこまでを暗黙の了解で(カウンターのようなものとか)つかって良いのかの判断ができないし、照明が正しいのかどうかよく分かりません。とりあえず、ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/22 22:02

 重ねてご迷惑をおかけすることになるかと思いますが、


お許し願いたいと思います。

 本来の演算+は厳密に定式化し得ないと言う私の勝手な
思い込みからANo.#11でstomachmanさんがかなりの行数を
割いて丁寧に説明された部分(stomachman+と本来+の
等価性の証明のための手ほどきの説明の部分)を全く無視
して、ANo.#12で
<大前提みたい
  に考えて無視しているかのように私には見えます>
と述べたことを

stomachmanさんにお詫びしたいと思います。

私の重大な見落としであり、少なくとも言及していました。
と同時に、この説明は私にとってstomachman+と本来+の
等価性の証明の可能性を十分に示唆するものであることを
認めたいと思います。

 従って議論はANo.#11で完結すると考えますので、議論の
当事者として混乱を避ける意味で、ANo.#12(それに伴い、
今回の回答も)を削除して考えて頂けたらと思います。
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この回答へのお礼

返事が遅くなってすみません、正直ちょと理解できないレベルの話になってしまって、じっと様子を見てました。毎日このページは見てたんですが、皆さんの意見について、数学の知識が無いのでよく判断できません。
ありがとうございました。一応、もうすぐ締め切らせていた抱きます。すみませんでした。

お礼日時:2002/02/22 22:05

 私の疑義はANo.#12までにしたいと思います。


 本欄の趣旨に反して偏った議論に走ったことを反省し、
質問者、stomachmanさん、および閲覧者のみなさんに
お詫び申し上げたいと思います。
 今後有意義な回答が出て質問者、閲覧者のみなさんの
理解が深まることを期待します。
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No.11は、No.12のご主旨に沿って回答しております。

証明として完結していないことは、No.6で予め申し上げた通りですし、どのようにして完結されるか、その概要についてNo.11で解説しました。
しかし、質問者であるtaurus4さんから全く反応がないのは、質問者には分からないレベルの話になっているためではないかと危惧しています。

 従って、tgbさんご自身が別途質問を立てることをお薦めいたします。

 なお、本回答はもちろんの事ですが、tgbさんの書いた記事も消滅する可能性がありますから、控えを取っておくべきでしょう。
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 どうも私の疑義の趣旨がうまく伝わっていないようなので


表現を変えて再度述べてみたいと思います。
 先ず、数については取りあえず問題視していないので区別
せず、以下のように+演算のみについて区別して表したいと
思います。
 +  質問者の考えている加算(本来の加算)
 +’ stomachman加算
 +” tgb加算
そこで、
・質問者は
  prf0:1+1=2
 が証明可能かを問いました。
・stomachmanさんは
  prfs:1+’1=2 (ANo.#6)
 の証明を示しました。
 
・tgbは
  prft:1+”1=3 (ANo.#8)
 の証明を示しました。

 この場合、これまでの議論から[私が推定する]ところの
stomachmanさんの考えは
・prfsによりprf0の成立が保証される。
 または等価である。
 (stomachmanさんはこの点に関して議論上の大前提みたい
  に考えて無視しているかのように私には見えます)
・その根拠は+’演算が+演算を忠実に表していること。
・prftはprf0と等価にならない。
・その根拠は演算が+演算を表していないこと
となります。

 これに対して私の考えは次の通りです。
・prfsとprftはprf0の証明の候補としては対等
 (どちらも!証明・反証になり得ない。根拠は以下に記述)
・prf0とprfsは等価にならない。
・その根拠は+と+’の等価性が示せない事による。
 もともと+に厳密な定義が与えられていない以上数学的に
 等価性を議論すること自体が無意味
・ただし、無条件に+と+’の等価性を認めれば有意義な
 結果をもたらすことは誰もが認めるところ。

 以上のように考えてANo.#6の証明は
  1+’1=2
の証明であって、
  1+1=2
の証明として完結していない(認められない)。

 ここまで来ると証明可能・不可能の議論はあまり有意義
なものとは思えなくなりましたが.....
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> 私は演算が本来の+演算かどうかは問題にしていません。


>stomachmanさん自身、+(f)の演算を本来の演算と等価か
>どうか議論すること無しに自分で勝手に定義されています。

 仰るとおりです。公理論的に自然数とその足し算を定義しても、「普通の足し算」が厳密に定義されていないと比較のしようがない。ですから"+"をtgbさんのように定義すれば、「普通の足し算」を知らない人が
1+1=3
を確信するのは全く正当です。ただ、ここまでは用語(あるいは記号)の問題、すなわち「何を足し算と呼ぶか」の違いに過ぎません。さらにtgbさんの定義された"+"を使って数学を構成していけない理由など何処にもない。(しかし、この演算は群にならないから扱いにくいです。)

 「普通の意味での自然数」や「普通の足し算」が理解されていて初めてstomachmanのf()だろうが、大学ノート一冊分だろうが、それが「普通の足し算」の形式化として相応しいかどうかが判断できるというのは、全くの正論です。そして、「普通の意味での自然数」や「普通の足し算」が定義されていないかと言いますと、そんなことはない。「普通の意味での自然数」はまさしくs(n)、つまり「ある自然数の次に来る自然数がある」という形で非形式的ながら定義されており、また「普通の足し算」は筆算であれそろばんであれ、数字の操作の規則という形で明確に定式化されています。したがって、stomachmanが提示した"+"が同じ規則に従うことを証明すれば、これは確かに「普通の足し算」であることが分かる。
 「普通の足し算」は、「足し算の九九」および10進表現(或いはそろばん玉による表現)における繰り上がりの規則で記述できます。ですから、証明するにはNo.6の定義だけでは不足で、それを10進表記(或いはそろばん玉で)表現する方法を構成しなくてはいけません。

 ともあれ「ま、感じだけ掴んで戴く」ための中途半端な説明であることはご理解戴きたい。必要最低限を記述するのなら大学ノート一冊までは必要ありませんし、数学基礎論の適当な参考書をご覧になれば良いでしょう。
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 質問者をさしおいての議論はマナー違反かも知れませんが、


お許し頂けるものとして話を進めたいと思います。

 私は演算が本来の+演算かどうかは問題にしていません。
stomachmanさん自身、+(f)の演算を本来の演算と等価か
どうか議論すること無しに自分で勝手に定義されています。

 もし「普通の意味での足し算を正確に表しているかどうか」
でどちらの証明が正しいかチェックするとしたら、証明に頼
らず、電卓で計算したり隣の人に聞いたりして確認すること
になると思いますが、そんなことは数学における正当性の
根拠としては採用できません。
 もし計算能力は全くのゼロで数学的な見識はずば抜けて
いるある人が1+1=2か正しいかを証明する手だてを持ってい
なくて、且つ電卓も持っておらず、隣に人もいないとした
場合、その人が私の証明を見たら、1+1=3を確信するはず
(stomachman!さんの証明が正しい限り)であると言え
ないでしょうか。

 次のように考えられないのでしょうか?
「stomachmanさんが示したような方法で数学の体系を
 構成(1+1=2の証明は別にして)すると普通我々が
 当たり前と考えている加法や減法(本来の演算)に
 よくマッチする(数学的証明無し)ので、我々の日頃の
 算数を厳密に再構成したものとして安心して採用できる」

 このように考えるとf()=nを採用するかf()=s(n)を採用
 するかは全く選択の問題になると思います。
(従ってその場合は数学が進歩して不都合が起こればやっぱり
 やめたと言うことになるかも知れません)
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  ANo.2でリンクされている質問の回答を書いた者です。あれは、質問者さんがなかなか応答してくれなくて、何度も回答が削除になったりしたからホント往生しました。しかも結局、納得してもらえるところまで行かなかったような気がしています。
 で、再度チャレンジ。中学生にもわかりやすく、というご注文ですが、こういうことに興味を持つだけのことはあるカシコイ中学生、という限定にしても、やっぱり難しすぎてしまいそうだし、読む方はもっと大変でしょう。是非、どこが分からないか補足質問してださい。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
 はじめに、「定義」という言葉がお分かりになるでしょうか。「ある新しい用語を使い始めるときに、その意味をはっきり定めるために宣言をする」というほどのことです。

 では、まだ「数」という用語がなく、1,2,3だとか+という用語もない。そういう状態から出発です。

[イ] 数という用語を定義します。
[イ-1] 0 は数である。
(0とはどんな意味か、ということはどうでもいいんです。ここでは、「数というものは、『0は数である』と言える、という性質を持っているんだぞ」ということだけを宣言しています。)

[イ-2] aが数のとき、a’は数である。(←★注1)
(記号(’)はどんな意味か、ということはどうでもいいんです。ここでは、「数というものは、『aが数なら、a’も数である』と言える、という性質を持っているんだぜ」ということだけを宣言しています。
 以下、「数」という用語は、「0は数である」と言う時と、「aが数なら、a’も数である」と言う時にだけ使います。だから、0って何だ、(’)って何だ、数って一体なんなんだ、ということを知らなくても構わない。従って、そんなことは決めなくても良い。決めていないのだから、そういう質問をされても答えはない、ってことになります。)

[ロ] 1, 2, 3, 4, 5 という用語を定義します。
[ロ-1] 1とは0’のことである。
(1は「0’を略記したもの」ということであり、1=0’です。[イ-2]より、0が数のとき、0’は数です。そして[イ-1] より、0は数です。だから、0’は数です。[ロ-1] で、この数0’を1と略記することに決めたのです。だから、「1は数である」と言えます。)

[ロ-2] 2とは1’のことである。
(2は「1’を略記したもの」ということであり、2=1’です。[イ-2]より、1が数のとき、1’は数です。そして[ロ-1] より、1は数です。だから、1’は数である。[ロ-2] で、この数1’を2と略記することに決めたのです。だから、「2は数である」と言えます。)

[ロ-3] 3とは2’のことである。
[ロ-4] 4とは3’のことである。
[ロ-5] 5とは4’のことである。

も同様。(←★注2)

[ハ]+という用語を定義します。
+ は、以下の二つの性質を満たす関数である。(←★注3)
aが数であるとき、a + 0 = a…(A)
aとbが数であるとき、a + b’ = (a + b)’ …(B)

(他にも定義の仕方はあります。)

[ニ]例題
ためしに、2+3=5を証明しよう。

2+3
= 2+2’ ([ロ-3]による)
=(2+2)’ ([ハ](B)による)

カッコの中に現れた2+2をやる。
2+2
= 2+1’ ([ロ-2]による)
=(2+1)’ ([ハ](B)による)

カッコの中に現れた2+1をやる。
2+1
= 2+0’ ([ロ-1]による)
=(2+0)’ ([ハ](B)による)

カッコの中に現れた2+0をやる。
2+0
= 2 ([ハ](A)による)

以上から、
2+3 = (2+2)’ = ((2+1)’)’ = (((2+0)’)’)’ = ((2’)’)’ = (3’)’ = 4’ = 5
であることが証明できた。

(1+1がどうなるかは簡単でしょう。)

=================================
注釈
★注1: こうやって作った数が、どれも別のものでないと困ります。例えば、もし0’=0だったら、
1 = 0’ = 0
だから、これでは普通の「かず」とは全然違うものになってしまいます。だからきちんとやるには、「1は0とは違う、2は0とも1とも違う、3は0,1,2のどれとも違う、…」と言えるような「aの次の数a’」の作り方を、具体的に決めておかねばなりません。(作り方の説明には、集合についての初歩的な知識が必要です。)

★注2:有限個の、小さい数だけ考える分にはこれで良いのです。ただし、この先を幾ら続けて行っても、いつまで経っても数(自然数)全部を定義することはできません。ここが実は、数というものを数学の中で作り出す際に一番難しい部分なんです。

★注3:「(A)(B)の性質を満たす関数だなんて、そんな都合のいいものはないよ」ということだってありうるのです。だからきちんとやるには「 (A)(B)の性質を満たす関数、というものが確かに存在する」という事を証明しなくてはなりません。これも大変な部分であり、ここでは説明しません。
 さて、関数というと、f(x)のように書くのが普通です。その書き方に合わせれば、
x+y
とは、2変数関数
+(x,y)
の略記法だと考えることができます。"+"が関数の名前(fの部分)です。

  ANo.2でリンクされている質問の回答を書いた者です。あれは、質問者さんがなかなか応答してくれなくて、何度も回答が削除になったりしたからホント往生しました。しかも結局、納得してもらえるところまで行かなかったような気がしています。
 で、再度チャレンジ。中学生にもわかりやすく、というご注文ですが、こういうことに興味を持つだけのことはあるカシコイ中学生、という限定にしても、やっぱり難しすぎてしまいそうだし、読む方はもっと大変でしょう。是非、どこが分からないか補足質問してださい。
...続きを読む

Qなぜ1+1=2なのですか?

ベクトルとかではなく一般的な算数の話なのですが、どうして1+1=2なのでしょうか?

Aベストアンサー

 まず、自然数で「1の次は2」と書くと決めています。2の次が3です。

 算数に入る前に、数学基礎論に少し寄り道します。数学基礎論は、数学が数学として、どうして正しいか、どうすればもっと正しくなるか等々を研究する、数学自体を扱う数学の分野です。

 まず自然数が定義されます。0から始まります。0,1,3……と1ずつ増えながら、無限に続きます。その定義内容はちょっと省略。

 足し算の定義としては、

1.「0+1=1」と定義し、

さらに、二つの自然数m,nを自由に選んで、n'をnの次の自然数とすれば、

2.「m+n'=(m+n)' :ただし(m+n)'はm+nの次の数」

としました。これで、「自然数の次の数」=「自然数1ずつ増やす」という自然数の定義だけで、あらゆる自然数の足し算が定義できています。

 この定義は算数の足し算では、「数えたら、合っている」ということで、「当たり前」として説明なしに、「足し算はそういうもの」としています。

 だから、「1+1=2」は「当たり前」となります。

 ただ、上で説明した足し算の定義にたどり着くまでに、たとえば「数学原論」という分厚い数学基礎論の本では、300ページ以上を使って数学をあれこれ定義して、ようやく「だから、数学では1+1=2としてよいのである。」と述べています。
 ちなみに数学基礎論を専攻している人の中には「数学原論は、まだまだ定義が甘い」という人がいるそうです。恐るべき厳しさです。

 つまり、「どうして、1+1=2なのか?」ではなく、「1+1=2で大丈夫なように数学を作っています!」ということです。

 数学をちょっと小さくしても、数学の確かな一分野である算数も、1+1=2で大丈夫なようになっているということです。

 まず、自然数で「1の次は2」と書くと決めています。2の次が3です。

 算数に入る前に、数学基礎論に少し寄り道します。数学基礎論は、数学が数学として、どうして正しいか、どうすればもっと正しくなるか等々を研究する、数学自体を扱う数学の分野です。

 まず自然数が定義されます。0から始まります。0,1,3……と1ずつ増えながら、無限に続きます。その定義内容はちょっと省略。

 足し算の定義としては、

1.「0+1=1」と定義し、

さらに、二つの自然数m,nを自由に選んで、n'をnの次の自然数とすれば、

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Q1+1=2は公理?

1+1=2というのは公理なのでしょうか。それとも定義なのでしょうか。講義での課題なのですが定義と公理のそれぞれの意味を調べても1+1=2がどちらなのかわかりません。どなたかわかるかた教えてください。

Aベストアンサー

自然数論の分野でしょうか
自分も詳しくはないですがURLが参考になるかも知れません

参考URL:http://akademeia.info/main/math_lecturez/math_number_taikei.htm#peano

Q1000本のワインがあって、1つは毒入りです。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければなりません(理由はAに書きます)
しかし4時より後に飲んだ場合は24時より後に死ぬ可能性があるため、毒を見逃す可能性があります。

ゆえに10時より後には飲めません。


A、もし10時以内に飲んだ場合
死んだとしても最初に飲んだワインによるものなのか後に飲んだワインによるものかわからないからです。
一本目の死ぬ可能性のある時間帯は10~20時
二本目を例えば9時に飲んだとしたら死ぬ時間帯は19~29時になります。
つまり19~20時に死んだ場合、その死が一本目によるものなのか二本目によるものなのかわからないからです。


ゆえに1人1本しか検査できません。

従って1000本には1000人必要です。





こういう答えがでたんですが、答えは10人なんだそうです…

先生にだされた問題だとか。


どうして10本になるのでしょうか?


困ってます。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければ...続きを読む

Aベストアンサー

ついでに書いておこうかな(^^)
2進数                 10進数
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   1番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0   2番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1   3番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0   4番目のワイン
 ・・・【中略】・・・
 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1  999番目のワイン
 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1,000番目のワイン
奴隷は上に1があればそれを飲む
 A B C D E F G H I J  10人

Q人間の3大欲とはなに?

この質問は このジャンルでふさわしいのかどうかちょっと迷ったのですが・・・。

人間の 3大欲といわれるものがありましたよね。
あれは 食欲と 後はなんでしたでしょう?

また その「人間の3大欲」という言葉は
誰が 言い出したのでしょうか?

Aベストアンサー

人間の三大欲望は
食欲 睡眠欲 性欲 です。
食欲は,物を食べ,エネルギーにする事。
睡眠欲は,睡眠をとり,脳を休ませること。
性欲は,トイレで用をたしたり,エッチをしたり,する事
この3つはある程度は我慢が出来ますが,人間が生きていくためには必ず必要なことです。欲望というより,必要不可欠なことです。
でも、このことを言った人はわかりません。昔からの言い伝えではないでしょうか?

似たような語で,「衣・食・住」これは、生活の上のことです。

Q四次元というのはどんな世界ですか?

そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?
三次元の世界とは縦横高さのある空間の世界だと思います。
これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?
我々の世界にも時間があるので、四次元といってもいいのでしょうか?
それとも四次元とは時間とは無関係の世界なのでしょうか?
あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタインでした。
 彼は、リーマンという数学者が作った、
曲がった空間の幾何学(現在リーマン
幾何学と呼ばれています)を使い、4次元の
空間が歪むという状態と、重力や光の運動を
あわせて説明したんです。これが相対性理論。

>これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?

 物理学的にはそうです。

 相対性理論の話に関連付けて説明するとこんな感じです。
例えば、下敷きの板のような平面的なもの(数学的には
これを2次元空間と言ったりします)を曲げると
いう動作を考えてみて下さい。下敷きに絵が書いて
あったとして、曲げながらそれを真上から見て
いると、絵は歪んで見えます。平面的に見て
いても下敷きという2次元空間が歪んでいる
ことが感じ取れます。
 2次元的(縦と横しかない)な存在である下敷きが
歪むには、それ以外の方向(この場合だと高さ方向
ですが)が必要です。

 19世紀に、電気や磁気の研究をしていた学者たちが、
今は小学校でもやる砂鉄の実験(紙の上に砂鉄をばら撒いて
下から磁石をあてると、砂鉄が模様を描くというやつです)
を電磁石でやっていたときに、これは空間の歪みが
原因ではないかと直感したんです。
 電磁石の強さを変えると、砂鉄の模様が変化します。
これを砂鉄が動いたと考えず、砂鉄が存在して
いる空間の歪みが変化したのでは?と考えたんです。

 3次元の空間がもう1つ別な方向に曲がる。
その方向とは時間という方向だということを
証明したのが、相対性理論だったんです。


>あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

 4つ目の方向である時間は、存在していても
その方向に、人間が自由には移動する方法は
現在ありません。時間方向を自由に動ける機械と
いうのは、タイムマシーンのことなんですが。

 日常生活を考えてみたとき、縦、横といった
方向は割りと自由に動けます。1時間ちょっと
歩けば4kmくらい楽に移動できますが、
道路の真中で、ここから高さ方向に
4km移動しろと言われたら、人力だけでは
まず無理でしょう。
 飛行機やロケットといった道具が必要と
なります。
 時間方向というのは、このように存在していても
現在のところ自由に移動できない方向なんです。

 例えば、人間がエレベーターの床のような
平面的な世界に生きているとしましょう。

 この場合、高さ方向を時間と考えて下さい。

 エレベーターは勝手に下降しているんです。
この状態が、人間の運動と関係なく、時間が
経過していく仕組みです。

 人間もほんの少し、ジャンプして高さ
方向の移動に変化をつけることができます。

 同様に時間もほんの少しなら変化をつける
ことができます。

 エレベーターの中で、ジャンプすると
ほんの少し下降を遅らせることができる
ように、時間もほんの少し遅らせることは
できるんです。




 

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタイン...続きを読む

Qべき乗

べき乗とは一体なんですか?
ウィキを見ても理解できませんでした。
2の2乗は2×2ですが、
2のマイナス2乗は一体どのような式なのですか?

Aベストアンサー

算数の延長線上だけの概念だけだといまいち理解出来ないですよね。
べき乗って要は指数なんですけど、
そういう難しい話を出来るだけ捨てて、算数の世界で説明出来る位まで掘り下げて説明します。

例えば 10の2乗は100、10の3乗は1000となります。
これを数字の動きに目を合わせてもう一度、書いてみます。
00010.00000 ←これを2乗すると↓
00100.00000 //10という値が左に1つずれた結果が答え

00010.00000 ←これを3乗すると↓
01000.00000 //10という値が左に2つずれた結果が答え

こういう風に表す事が出来ます。
じゃあ、10のマイナス2乗ってなった場合はどうなるのかというと、
00010.00000 ←これを-2乗する↓
00000.01000 //10という値が右に3つずれた結果が答え

という答えになります。
1を基準点として、右や左にいくつずれるか。
これがべき乗なのです。


で、2のべき乗を考えた時は、
全部2進数で考える必要があります。
00010.00000 ←2進数で表した数値の2
00100.00000 ←2乗した結果。数値で言うと4
00010.01000 //-2乗した結果。数値で言うと0.25


これで何となく分かっていただけたでしょうか?
ちなみに37のx乗を計算するみたいな時があったとしたら、
それは37進数で考えるという計算が必要になるのです。

算数の延長線上だけの概念だけだといまいち理解出来ないですよね。
べき乗って要は指数なんですけど、
そういう難しい話を出来るだけ捨てて、算数の世界で説明出来る位まで掘り下げて説明します。

例えば 10の2乗は100、10の3乗は1000となります。
これを数字の動きに目を合わせてもう一度、書いてみます。
00010.00000 ←これを2乗すると↓
00100.00000 //10という値が左に1つずれた結果が答え

00010.00000 ←これを3乗すると↓
01000.00000 //10という値が左に2つずれた結果が答え

こういう風...続きを読む

Qキラキラ星の英語版の歌詞を教えてほしいです

今度、英語助手の方がいらっしゃって子供たちと遊んでくれるのですが,キラキラ星(きらきらひかるおそらのほしよ、まばたきしてはみんなをみてる~)の歌を聞かせてあげたいと思っています。が、歌詞が今一つわかりません、どうぞ教えて下さい。あと、どんなアメリカの方でも知ってるようなフォークダンスみたいな簡単な踊りってないですか?

Aベストアンサー

Twinkle, Twinkle, Little Star

1,
Twinkle,twinkle,little star!
How I wonder what you are!
Up,above the world,so high,
Like a diamond in the sky.
Twinkle,twinkle,little star!
How I wonder what you are!

2,
When the blazing sun is set,
When the grass with dew is wet,
Then you show your little light,
Twinkle,twinkle,all the night.
Twinkle,twinkle,little star!
How I wonder what you are!

3,
In the dark blue sky you keep,
And after through my window peep;
For you never shut your eye
Till the sun is in the sky.
Twinkle,twinkle,little star!
How I wonder what you are!

4,
And your bright and tiny spark
Light the traveller in the dark;
Though I know not what you are,
Twinkle,twinkle,little star.
Twinkle,twinkle,little star!
How I wonder what you are!


ε~( ̄、 ̄;)ゞフー
なんとか打ち込めました。打つのもやっとなので、スペルが間違えている所があるかもしれません。フォークダンスのほうは今はわかりません。

Twinkle, Twinkle, Little Star

1,
Twinkle,twinkle,little star!
How I wonder what you are!
Up,above the world,so high,
Like a diamond in the sky.
Twinkle,twinkle,little star!
How I wonder what you are!

2,
When the blazing sun is set,
When the grass with dew is wet,
Then you show your little light,
Twinkle,twinkle,all the night.
Twinkle,twinkle,little star!
How I wonder what you are!

3,
In the dark blue sky you keep,
And after through my window peep;
F...続きを読む

Qいい数学の先生ってどんな教え方をする先生でしょうか?

こんばんは。

いい数学の先生ってどんな教え方をする先生だと思いますか?

抽象的な質問ですみません。
例えば、
・公式はたくさん覚えるべきだ、と主張する先生
・とにかく問題はたくさんとくべきだという方針の先生
のような感じで答えていただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

『良い選手は良い監督になれない』では無いかなぁと思います。
中には王監督のように良い選手でありよい監督である事もありますよ。
ではその差は何か?と考える…

理論的な頭からすれば数学の目標はいち早く答えにたどり着く事かと思うんです。
そうなると途中の計算式や考え方ではなく、『こう言う問題はこう考えてこう答える』
これがマニュアル化してしまう可能性があるんですね。
ですから『わけ解らないまま答える』という事が大いにありうるんです…

確かに、実際の数学の試験では問題解決の方針を考えている余裕が無い事が多いです。
ですが、どう考えるのかどういうものかを、しっかり教える先生が良い先生かと思うんです。

私は数学が大好きで理系大学に入り、朝な夕な家庭教師をしていました。
私が良い教師であるかは、生徒にきかなければわからないでしょう。
ですが少なくとも、中学高校時代の数学教諭と比較して『解りやすい』とは言わていましたね。

何のためらいも無く公式を言う、『ここまで教えなさい』という事が頭から離れない教師と
自由奔放に以下に数学って面白いんだよを主張する私では比べてはいけないのでしょうけれど…
例えば2次関数
私は家庭教師時代とにかくグラフを書かせる事に徹しました。
展開や因数分解などしない、とにかく式からグラフを書かせるんです…
公式はその後でした。
式の変形は公式は必要ないんですね。きちんとどういうものかを見せる事により
計算結果が雰囲気で正誤判定ができるようになりました。
パズルのようなものです。算数は平気なのに数学になったと慌てるから駄目
算数と同じようにじっくり解るように教えれば、後は生徒に任せていても実に速く解けるようになるんですね。
待て!と言ってもどんどん次から次へ進んでしまう…
『良い点数を取らせる事』よりも『数学は楽しい』と言ってもらえる事を目指すのが良い先生かなぁなんて我ながら思いました…

と言いつつも、いまだに忘れない言葉があります。
『紫蘭先生のおかげで点数がが25倍になった!』
普段出来てもせいぜい一問、4点だった生徒が100点満点を取ったんだな…
あの時は驚いて次の瞬間、自分の事のように泣いてしまった…

もし宝くじで3億円当たったら家を建てて、その一室でもう一度、家庭教師をしたいなぁなんて思う紫蘭でした…
箇条書きになっていませんでしたね失礼しました…

・数学のイメージをきちんとつけてくれる先生
・数学は実は楽しいという事を気づかせる先生
と言う所でしょうか…

『良い選手は良い監督になれない』では無いかなぁと思います。
中には王監督のように良い選手でありよい監督である事もありますよ。
ではその差は何か?と考える…

理論的な頭からすれば数学の目標はいち早く答えにたどり着く事かと思うんです。
そうなると途中の計算式や考え方ではなく、『こう言う問題はこう考えてこう答える』
これがマニュアル化してしまう可能性があるんですね。
ですから『わけ解らないまま答える』という事が大いにありうるんです…

確かに、実際の数学の試験では問題解決の方針...続きを読む

Q「以降」ってその日も含めますか

10以上だったら10も含める。10未満だったら10は含めない。では10以降は10を含めるのでしょうか?含めないのでしょうか?例えば10日以降にお越しくださいという文があるとします。これは10日も含めるのか、もしくは11日目からのどちらをさしているんでしょうか?自分は10日も含めると思い、今までずっとそのような意味で使ってきましたが実際はどうなんでしょうか?辞書を引いてものってないので疑問に思ってしまいました。

Aベストアンサー

「以」がつけば、以上でも以降でもその時も含みます。

しかし!間違えている人もいるので、きちんと確認したほうがいいです。これって小学校の時に習い以後の教育で多々使われているんすが、小学校以後の勉強をちゃんとしていない人がそのまま勘違いしている場合があります。あ、今の「以後」も当然小学校の時のことも含まれています。

私もにた様な経験があります。美容師さんに「木曜以降でしたらいつでも」といわれたので、じゃあ木曜に。といったら「だから、木曜以降って!聞いてました?木曜は駄目なんですよぉ(怒)。と言われたことがあります。しつこく言いますが、念のため、確認したほうがいいですよ。

「以上以下」と「以外」の説明について他の方が質問していたので、ご覧ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=643134


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