すごい基礎的な問題だと思うのですが
はずかしながらどうもうまくできないので質問します

実数列{an}n=1~∞がある
bn=|an-(an+1)|とおく
あるa∈Rがあってan→a(n→∞)となるとき
Σ(n=1~∞)bnは収束するか?
収束するなら証明を、そうでないなら反例をあげよ

おねがいします

A 回答 (2件)

反例として


a(n+1)-a(n)={(-1)^(n-1)}/(2n-1)
となる数列a(n)だと
lim(n→∞)a(n)
=a(1)+Σ(n=1~∞){(-1)^(n-1)}/(2n-1)
=a(1)+π/4
で収束しますが
Σ(n=1~∞)|a(n+1)-a(n)|
=Σ(n=1~∞){1/(2n-1)}
は∞に発散します
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この回答へのお礼

(-1)^(n-1)乗かー
なるほどそれで絶対値なわけだ
どうもありがとうございました

お礼日時:2002/02/19 16:56

b(n)=a(n)-a(n+1)ですから、


 Σ(k=1~n)b(k)={a(1)-a(2)}+{a(2)-a(3)}+…+{a(n)-a(n+1)}
        =a(1)-a(n+1)
となります。したがって、
 Σ(n=1~∞)b(n)=lim(n→∞){Σ(k=1~n)b(k)}
         =lim(n→∞){a(1)-a(n+1)}
         =a(1)-a
となります。
 

この回答への補足

bn=|an-(an+1)|なので
一概にb(n)=a(n)-a(n+1)とはならないと思いますが
どうでしょう?
この縦棒は絶対値の意味でお願いします
ちょっとみにくかったです
すいません

補足日時:2002/02/19 16:09
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>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
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>(ii)についてはさっぱりわかりません
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