痔になりやすい生活習慣とは?

数eV程度の運動エネルギーを持っている電子のドブロイ波長を考えたいのですが、本を見てみると静止エネルギーが無視されています。静止エネルギーを考慮するのと考慮しない場合では、ドブロイ波長の大きさが大きく変わってきます。どうして静止エネルギーを無視してしまうのですか?それがなぜ正しいのかが理解できません。よろしくお願いします。

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A 回答 (6件)

混乱しているようなので整理します。



(1)光にも物質波にも使えるドブロイ波長の式: λ=h/p

(2)光にも物質にも使えるエネルギーと運動量Einsteinの関係式: E^2-p^2c^2=m^2 c^4


ここで(2)の式を変形した形で使われる

E=mc^2 √1+(p/mc)^2

の式も良く使われますが注意が必要(3)をみてください。

(3)質量のある物質にしか使えない運動量の定義

p=mv/√1-(v/c)^2

この式は相対論的に正しいしきですが、光には使えません。これが大事です!この式を(2)を変形した物に入れるとE=mc^2/√1-(v/c)^2 となりますが、当然この式も質量のあるものにしか使えません。この式でvが小さいときには

E=mc^2+ mv^2/2+....

となって質量エネルギーの項とニュートン力学での運動エネルギーの項が出てきます。質量エネルギーは皆さんが言っているように定数なので結局常に一定でなんら重要な役割をしません。なぜなら質量エネルギーはあるがそれは運動には使えないからあってもなくても理論上何も変化がないということです。(これは相対論的な運動になるまで成立します。相対論的な運動になると質量のあるものが突然きえて、質量エネルギーを他の物質に与えることによって、質量エネルギーが運動に使われ始めるからです。)



さてここまで整理が付いたでしょうか? すると残った問題は光の場合にはどうなるの?ということでしょう。くどいようですが(1)と(2)は光にも使えます、ただし(2)でm=0としてください。すると(2)からルートを取って

E=pc

が出てきますから光は運動量と、エネルギーがcをのぞけば同じになる不思議(?)なものです。ところで光のエネルギーはどうやって求まるの?という疑問がわきますが、それはE=pcだからpが分れば分るでしょということなんですが、するとpはどうやって求まるの?ということになります。 ここでドブロイの式λ=h/pを逆につかってp=h/λ と書けば 光の運動量は光の波長から求まる、波長は光の色から分る!という具合に光に対するエネルギーや運動量が全てもとまってしまいます。


考えてみてください、「物質にも波の性質がある」といったドブロイ先生の素晴らしい発見λ=h/pを逆に解釈すると「光にも運動量がある、p=h/λ」という波物質(?物質波の反対)の解釈も可能になるというわけです。


光と物質に使える式を区別して、もう一度自分で整理してみてください。疑問があればまた質問どうぞ
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この回答へのお礼

詳しいご説明ありがとうございました!
こうして整理してみるとハッキリします。
また何かあればお世話になると思いますがよろしくお願いします。

お礼日時:2006/06/23 20:34

p=mvγは相対論の運動量の定義式ですが、相対論と非相対論のつじつまをあわせるためには、dp=dE/vではなく、


mdv=dE/vとして下さい。(ただし、mは静止質量です。)この式は、Eが相対論的なエネルギーであっても、非相対論的な運動エネルギーであっても成り立ちます。しかし、ここまで、相対論にこだわるのでしたら、ドブロイ波ではなく、一気にDirac方程式で論じた方がよいような気がします。

尚、最初の質問、「静止エネルギーを考慮するのと考慮しない場合では、ドブロイ波長の大きさが大きく変わってきます」について答えるならば、式dp=dE/vを使う限り、静止質量を考慮しても、しなくても、大差はありません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
みなさまのお陰でスッキリしました。
ご丁寧な解説に感謝します!

お礼日時:2006/06/26 10:04

 ディラックの教科書には、次のようなことが書かれています。


 相対性理論でのハミルトニアンは、運動量が小さい場合は、ニュートン力学でのハミルトニアンに移るが、静止質量エネルギーの分だけ異なる。しかし、この項は運動方程式には影響しない。量子論でも、物理的には影響のない項である。なぜなら、ハミルトニアンの定義には不定さがあって、実の定数を勝手に加えてもよいからである(ハミルトニアンの定義は、この記載の少し前にあって、時間のずれの演算子の極限で与えられる)。
 よく分からない内容だと思いますが、定数分の違いは物理的に影響を及ぼさない、ということのようです。詳しくは、ディラックの量子力学の教科書を読んでください。
 なお、この記載の少し後の方に、次のような記述があります。相対論的に不変な性質から出発して、ドゥ・ブローイーは、どんな粒子の運動でもそれに伴って式(29)の形の波(波動関数のこと)が存在するという公理を仮定した。したがってそれらの波は、ドゥ・ブローイーの波という名で知られている。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
やはり静止質量エネルギーの分だけニュートン力学と異なっているのですね!
それが影響をおよぼさないということなのですね。

お礼日時:2006/06/23 10:29

物質波がいつのまにか、光波になっているようです。


電子の速度vと位相速度cは違いますので、注意して下さい。λ= h/p とE=hνから、位相速度の公式c=νλを使って、p=E/cが導かれますが、この式のcは粒子(電子)の速度ではありません。粒子(電子)の速度v、運動量p、エネルギーEを関係づける式は正確には、dp=dE/vという微分の式になります。微分の式ですから、静止エネルギーは考えなくて良いのです。尚、蛇足ですが、粒子速度vと波動との関係はv=dω/dkです。v=ω/kは誤りです。

この回答への補足

あと、もう一つなのですが、
p=mvγ
E=mγc^2
からp = vE/c^2
という関係が導かれているのですが、今の粒子の場合はこの式は使えないということになるのですか?

補足日時:2006/06/23 10:39
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます!
粒子の速度と位相速度があるのですね。
dp=dE/vの式は覚えておきます。
そうすると、光だけは特別なのでしょうか?
光速はcで、光子の速度もcとなっています。

お礼日時:2006/06/23 10:08

>pはE=c*pの関係にあるので、



電子は光速cでは動いていませんよ。
だからこの式違いますよ。

さらに数eVの運動エネルギーですから、光速Cよりとてものろい。相対論的ではありません。

E=(1/2)mv^2 =(1/2m)p^2
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
E=(1/2)mv^2 =(1/2m)p^2という式は今までは納得していたのですが、相対論で
E=mγc^2 γ=(1-β^2)^(-1/2) β=v/c
となっていて、粒子が光速よりもはるかに遅い場合にβで展開すると、
E=mc^2 + 1/2 * mv^2 +o(β^4)
となります。
第1項はニュートン力学にはあらわれない項だという事なのですが、この式を見ると、物体の速度が遅い場合でも全エネルギーを出すには必ず静止エネルギーの分も加えないといけないのではないかと思ってしまうのです。エネルギーの原点のとり方の相違でこういう現象が起こっているらしいのですが、理解できません。ここが一番分からない点でした。

お礼日時:2006/06/23 09:57

ドブロイ波長とコンプトン波長を混同しているのではないかとおもいます。

ドブロイ波長は

λ= h/p

で運動量でわったものです。エネルギーではありませんから注意してください。
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この回答へのお礼

すいません、質問の仕方が十分ではなかったと思います。
ドブロイ波長を求めるときに、λ= h/pの式の中でまずpを求めようとしました。
pはE=c*pの関係にあるので、Eをcで割ればpが求まります。
この部分で疑問がわきました。
Eは電子のエネルギーなので、運動エネルギーと静止エネルギーの総和になっていると思うのです。
どうして静止エネルギーは考慮されないのかが疑問なのです。よろしくお願いします。

お礼日時:2006/06/22 20:22

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Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q電子のエネルギーについて

プランク等が光子のエネルギー、運動量を
E = hν, p = h / λ
として表現できると仮定しています。

一方、光のエネルギーは相対論からすると、
E = mc^2
になると考えられるので、光の運動量は
E = mc^2 = hν
とすると、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
となると考えることができます。

ところが、ド・ブロイ等はこれが電子にも当てはまると言っています。
E = hν, p = h / λ

1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレディンガー方程式を見る限りは運動エネルギー+ポテンシャルのようにも思えますが・・・)

2. 電子は光速で飛び回っているわけではないので、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
は満たしません。にもかかわらず、ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのでしょうか?

( i)ポテンシャルが存在せず、Eを運動エネルギーと考えた場合・・・
E = hν = 1/2 mv^2
従って、
p = h / λ = hν / v = 1/2 mv ??
これは運動量の定義と矛盾します。

(ii)ポテンシャルが存在せず、Eを運動エネルギー+静止エネルギーと考えた場合(電子の速度は光速に比べて十分遅いので)・・・
E = mc^2 + 1/2 mv^2 ~ mc^2 = hν
従って、
p = h / λ = hν / v = mc^2 / v ??
これも運動量の定義と矛盾します。

つまり、電子のように遅い粒子では、E = hν と p = h / λを同時に満たすことができないように思えるのです。

数多くある量子力学の本でも逃げている部分であり、難解な質問かとは思いますが、ご存知の方がいらっしゃればご回答お願いします。

プランク等が光子のエネルギー、運動量を
E = hν, p = h / λ
として表現できると仮定しています。

一方、光のエネルギーは相対論からすると、
E = mc^2
になると考えられるので、光の運動量は
E = mc^2 = hν
とすると、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
となると考えることができます。

ところが、ド・ブロイ等はこれが電子にも当てはまると言っています。
E = hν, p = h / λ

1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレ...続きを読む

Aベストアンサー

 波長λと振動数νを掛けたものは位相速度といわれますが、電子の位相速度は、実際の電子の移動速度vとは異なります。つまり、λν=v ではありません。それでは位相速度はどれくらいかというと、それは、E=mc^2=hν と p=mv=h/λ を使って求められます。計算しますと、λν=c^2/v となります。 この値は明らかに光速度cより大きく、相対性理論と合わないように思われますが、位相速度は観測できる量ではなく、物理的に意味がないので、相対性理論とは矛盾しません。
 電子を波と考えたときの現実的な波の速さは、群速度により表されます。群速度Vgは、角速度ωを波数ベクトルの大きさkで微分したものです。つまり、Vg=dω/dk となります。エネルギーと運動量は、ωとkを使うと、E=h'ω、p=h'k となりますから(h'=h/2π)、Vg=dE/dp となります。非相対性理論の範囲では、E=p^2/2m ですから、Vg=vとなります。相対性理論の範囲では、E^2=p^2c^2+m^2c^4ですから、これもVg=vとなります。

 それでは、質問者様の質問に回答します。
1. ここで言う、電子のエネルギーとは何でしょうか、これには質量によるエネルギーは含まれているのでしょうか?(シュレディンガー方程式を見る限りは運動エネルギー+ポテンシャルのようにも思えますが・・・)

 電子のエネルギーは、静止質量エネルギーを含んだものです。シュレーディンガー方程式のエネルギーは、ご指摘のとおり、静止質量エネルギーは含んでおりません。このため、相対論的量子力学で扱うエネルギーとシュレーディンガー方程式で扱うエネルギーとでは、静止質量エネルギーの分だけ違いがあるということになります。これは(ディラックによれば)、物理的に影響のない項目です。なぜなら、ハミルトニアンは、実の定数分の不定さがあるからです。

2. 電子は光速で飛び回っているわけではないので、
p = mv = mc = hν / c = h / λ
は満たしません。にもかかわらず、ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのでしょうか?
 
 既に上で述べたように、λν=v ではなく、E=hν と p=h/λから位相速度が決まります。ド・ブロイはなぜこの式を適用することができると考えたのか、については、ド・ブロイ自身の論文は見ていませんが、ディラックによれば、相対論的に不変な性質から出発してこの考えに至ったようです。つまり、エネルギーと運動量は4次元ベクトル(E/c,p1,p2,p3)を成します。波数ベクトルについても、(ω/c,k1,k2,k3)は4次元ベクトルとなります。どちらも4次元ベクトルであることから、エネルギー運動量を波で表すということは、光だけに限定されるものではなく、ほかの物質であっても成り立つものと考えた訳です。

 波長λと振動数νを掛けたものは位相速度といわれますが、電子の位相速度は、実際の電子の移動速度vとは異なります。つまり、λν=v ではありません。それでは位相速度はどれくらいかというと、それは、E=mc^2=hν と p=mv=h/λ を使って求められます。計算しますと、λν=c^2/v となります。 この値は明らかに光速度cより大きく、相対性理論と合わないように思われますが、位相速度は観測できる量ではなく、物理的に意味がないので、相対性理論とは矛盾しません。
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Qドブロイ波の式について質問します。

ドブロイ波の式について質問します。
 ドブロイ波というのは質量を持つ粒子の波動性を考えているものです。ドブロイ波の振動数はν=E/hです。なぜ光における式E=hνを使って振動数を導いていいのですか?E=hνという式は光についてだけのものではないのですか?
 またドブロイ波の運動量P=E/c=hν/c=h/λは特殊相対論のE^2=m^2c^4+p^2c^2という式において質量m=0として求めたものだから、質量がゼロの光についてしか成り立たないのではないかと思います。質量のある粒子にこれらの式を適用していい理由をどなたか知っている方がいたら教えて下さい!

Aベストアンサー

ドブロイ波の運動量はP=h/λで定義されているはずです。

質問者さんの提示式で矛盾が生じているのは二箇所。P=E/cの部分と、hν/c=h/λの部分です。
前者の式は仰るとおりm≠0では成り立ちませんし、後者の式はλ=νcであることを要請していますが、実際には物質および物質波の波束は光速では動けないため、λ=νu,u<cであることが
要請されるというだけの話です。

ここで一般的に抱く疑問の回答。物理とは何ぞやという話です。
・一例を使って成り立つ帰結(ここでは光E=pcを使ってP=h/λを導出したこと)に対し、
拡大解釈を行って(物質の場合も含めてP=h/λ)と仮定することは物理では良くあることです。

一般に原理は導出するものではなく、仮定するものです。
したがって、その定義はどこの条件を切り落としててどこを拡張したり仮定しているのかを
理解しておく必要があります。
ドブロイの話では、導出に用いたE=pcはP=h/λの導出では一度使ったけれど、拡張してE=pcでなくても
P=h/λは満たすという仮定を打ち出し、その通りになってしまったのです。

"普遍的なのはE=pcとc=νλの二式ではなく、むしろP=h/λ"だと考え、"導出に用いた前者は
P=h/λの正しさを保証する一例に過ぎない"と発想を逆転させたのは、
個人的にコペルニクス的だと思っています。

ドブロイ波の運動量はP=h/λで定義されているはずです。

質問者さんの提示式で矛盾が生じているのは二箇所。P=E/cの部分と、hν/c=h/λの部分です。
前者の式は仰るとおりm≠0では成り立ちませんし、後者の式はλ=νcであることを要請していますが、実際には物質および物質波の波束は光速では動けないため、λ=νu,u<cであることが
要請されるというだけの話です。

ここで一般的に抱く疑問の回答。物理とは何ぞやという話です。
・一例を使って成り立つ帰結(ここでは光E=pcを使ってP=h/λを導出したこと)に対し、
拡大解...続きを読む

Q50ボルトの電位差で加速された電子の波長と速度

1ボルトで加速された電子の運動エネルギーを1eVという。
このときの電子1モルのエネルギーは96.5kJ/molである。
50ボルトの電位差で加速された電子の物質波の波長(nm)と速度(m/s)を求めよ。

という問題で、このような問題解くの初めてで意味わからなかったので、

1eVについて調べたら、

『1eVとは、1Vの電位差のある場所で電子1個が得るエネルギーのこと』

とあったので、

『』内のエネルギーをXと置いて、

電子6.02×10^23個(=1mol):96.5×10^3J=電子1個:X(J)

∴X=1.60299×10^-19(J)

50電位差のときは、電子1個が得るエネルギーは50eVなので、
1.60299×10^-19(J)×50=8.01495×10^-18(J)

E(J)=h(Js)ν(s^-1)より、
1.60299×10^-19(J)=6.63×10^-34(Js)×ν
∴ν=1.208891×10^-16(s^-1)

E(m^2・kg/s^2)=m(kg)c^2より、
8.01495×10^-18(J)=m×(3.00×10^8)^2
∴m=8.9054×10^-35(kg)

λ=c/νより、
λ=3.00×10^8/1.208891×10^-16=2.48161×10^24(m)(=2.48161×10^33nm…波長の答え)

ドブロイの式
λ=h/{m(kg)×v(m/s)}
より、

v=1.847539×10^25(m/s)…速度の答え

と解いてみたのですが、

やけに答え大きすぎるし、
基本的な問題なのにどこが間違っているのかがわかりません。

ご指摘お願いいたします。

1ボルトで加速された電子の運動エネルギーを1eVという。
このときの電子1モルのエネルギーは96.5kJ/molである。
50ボルトの電位差で加速された電子の物質波の波長(nm)と速度(m/s)を求めよ。

という問題で、このような問題解くの初めてで意味わからなかったので、

1eVについて調べたら、

『1eVとは、1Vの電位差のある場所で電子1個が得るエネルギーのこと』

とあったので、

『』内のエネルギーをXと置いて、

電子6.02×10^23個(=1mol):96.5×10^3J=電子1個:X(J)

∴X=1.6...続きを読む

Aベストアンサー

>E=mv^2/2
で速度出して
ドブロイで
波長出しても
いいんですか?

全然問題ないです。ただ、

>私はまだE=p^2/2m見たことない(習ってない?w)気がするので

きっとこの式の意味をまだ把握されていないかと実はこれE=(1/2)mv^2と意味は全く同じです。
まず
運動量p=mv
運動エネルギーE=(1/2)mv^2

ってことは
p^2=(mv)^2
(1/2m)p^2=(1/2)mv^2
となります。つまり(1/2m)p^2も運動エネルギーを表しているわけです。

よって
E=mv^2/2=p^2/2m
となるのです。

Qドブロイ波長と電圧の問題で

ドブロイ波長について質問します。
まず、問題は次の通りです。
「あるX線発生装置で発生するX線の最短波長は3.0×10^(-11)mである。加速電圧は何Vか。」
というものです。
この問題で、私は教科書に載っていた次の方法で解きました。
eV(エレクトロンボルト)=hν
           =hc/λ
より、
問題の答えとなる電圧V=hc/eλ
           ={6.6×10^(-34)×3.0×10^8}
            ÷{1.602×10^(-19)×3.0×10^(-11)}
           =4.1×10^4
と出ました。これは模範解答とも合うものでした。
しかし、教科書をみると、他の方法も示されていました。
それは、電界のする仕事eVが電子の運動エネルギーになるという考え方です。
  eV=(mv^2)/2=p^2/2m=h^2/2mλ^2
よって、
  λ=h/√(2meV)  ・・・*
として求めるという方法です。
*式に、先に得られた V=4.1×10^4、電子の質量m=9.11×10^(-31)kg、1eV=1.602×10^(-19)Jを代入してみると、
  λ={6.6×10^(-34)}÷√(2×9.11×10^(-31)×1.602×10^(-19)×4.1×10^4}
   =6.03×10^(-12)
となり、波長が問題文の3.0×10^(-11)mと一致しません・・・。
どうして、方法によって違う値が出るのかがどうしてもわかりません。根本的に、何か勘違いをしていると思うのです。
どなたか教えてください、お願いします。 ><

ドブロイ波長について質問します。
まず、問題は次の通りです。
「あるX線発生装置で発生するX線の最短波長は3.0×10^(-11)mである。加速電圧は何Vか。」
というものです。
この問題で、私は教科書に載っていた次の方法で解きました。
eV(エレクトロンボルト)=hν
           =hc/λ
より、
問題の答えとなる電圧V=hc/eλ
           ={6.6×10^(-34)×3.0×10^8}
            ÷{1.602×10^(-19)×3.0×10^(-11)}
           =4.1×10^4
と出ました。これ...続きを読む

Aベストアンサー

始めはエネルギーEを与えられたとき発生する「光子の波長」。後者は加速されてエネルギーEを与えられた「電子のドブロイ波長」で別のものです。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q原子の中の原子核と電子

原子は、原子核と電子から構成されていますね。それらは、プラスとマイナスの電荷を持っていますね。それなのに何故、原子核と電子は衝突してしまわないのでしょう。素粒子の実験では、加速器という装置を使って、素粒子同士をぶつけることができるそうですが、このような衝突が何故、原子の中で起こらないのでしょうか。みなさん、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

stomachman さんの言われるように,20世紀初頭の大難問でした.

1911 年にラザフォードが原子核+電子という模型を提出して以来,
1913 年のボーアの量子仮設などを経て,1926 年にシュレーディンガーが
水素原子のシュレーディンガー方程式の解を示したのが最終解決ですね.
3人ともノーベル賞を受けています.
ラザフォード・・・・・・・・1908年,ノーベル化学賞
ボーア・・・・・・・・・・・1922年,ノーベル物理学賞
シュレーディンガー・・・・・1933年,ノーベル物理学賞

○ 前期量子論風に簡単にやってみましょう.
電子が陽子の周囲を半径 a の円軌道で回っているとして
(本当は回っているわけではないが...)
陽子-電子間のクーロン引力が e^2/a^2
(4πε0 がついていないのは cgs 非有理化単位系を使っているから)
遠心力が maω^2 (ωは回転の角速度),
両者が釣り合うから
(1)   e^2/a^2 = maω^2
速度は v = aω で,運動量 p は
(2)   p = mv = maω
stomachman さんの言われる電子波の波長λは,
ド・ブロイ(これも1929年のノーベル物理学賞)の関係式(1924年)で
(3)   λ = h/p
h はプランク定数.
円軌道一周が 2πa の長さですから,これが波長λの整数倍でないと
一周したときに波の頭としっぽがずれてしまう.
(4)   2πa = nλ  (n は自然数)
で,(1)~(4)から,簡単に
(5)   a_n = n^2 h^2 / 4π^2 m e^2
で,円軌道の半径が h^2 / 4π^2 m e^2 の n^2 倍しかとれない,
というようになっているのがわかります.
n = 0 では電子波がなくなっちゃいます.
エネルギー E_n は,運動エネルギー mv^2 = ma^2 ω^2 と,
クーロン力のポテンシャルエネルギー -e^2/a (負号は引力だから)の和で,
(6)   E_n = - 2π^2 e^4 m / n^2 h^2
で,これも離散的な値を取ります.
stomachman さんの E = mc^2 は何か誤解されているようですね.
エネルギーが E_n で量子化されていますから,
状態間を移るためにはそのエネルギー差の出し入れが必要なです.
それが電磁波のエネルギー hν になっているので,
吸収や放出する電磁波の波長は特定のものしかあり得ません.
ここらへんは stomachman さんの言われるとおり.

○ 上の前期量子論風の話は,きちんとした量子力学の定式化の話からすると
まずいところがあれこれあります.

○ ド・ブロイの波長の話は大分後の話で,前期量子論では作用積分の量子化
という議論になっていました.

○ もうちょっと簡単に言うなら,
電子が陽子の場所に落ち込んで動かなくなってしまうと,
場所が決まり運動量も決まってしまうので,
ハイゼンベルクの不確定性原理に違反する,という言い方も出来ます.

○ エネルギーが離散的な値を取るのは束縛状態(E < 0)だけで,
非束縛状態(散乱状態)の E > 0 では,エネルギーが連続的な値をとります.
量子力学では何でもエネルギーが離散的というわけではありません.
よく誤解されるようですが,量子力学という名前が悪いのかな?
加速器で陽子を原子核に打ち込むような話では,
陽子のエネルギーは連続的に取り得ます.

○ 加速器でよく使われるのは,
陽子や重陽子(重水素の原子核,陽子1個+中性子1個)や
α粒子(ヘリウム4の原子核,陽子2個+中性子2個)を
標的の原子核に打ち込むというものです.
標的がうまく取り込んでくれれば,原子番号が1か2大きい原子核ができます.
超ウラン元素のはじめの方はこのようなやり方で作られました.
後の方の元素はクロムイオンを鉛原子核にぶつけるなど,しています.
陽子も原子核も正電荷を持っていますから,クーロン反発力があります.
十分距離が近づけば核力の引力が作用しますが,そこまでクーロン反発力に逆らって
近づけるために加速器で加速するのです.

stomachman さんの言われるように,20世紀初頭の大難問でした.

1911 年にラザフォードが原子核+電子という模型を提出して以来,
1913 年のボーアの量子仮設などを経て,1926 年にシュレーディンガーが
水素原子のシュレーディンガー方程式の解を示したのが最終解決ですね.
3人ともノーベル賞を受けています.
ラザフォード・・・・・・・・1908年,ノーベル化学賞
ボーア・・・・・・・・・・・1922年,ノーベル物理学賞
シュレーディンガー・・・・・1933年,ノーベル物理学賞

○ 前期量子論風...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qこの場合のギブスエネルギーの変化量を教えてください

大学二年生の化学熱力学の教科を学んでいるのですが。。。
全くわからない問題があります!
室温298K、0.022molの理想気体が圧力が17.0MPaから100KPaに変化した。
この過程でのギブスエネルギーの変化量はいくらか。
という問題です。
物質量はどこで使うのですか?
計算過程もお願いします。
また、こういう問題は何を考えれば解けるのかアドバイスお願いします。

Aベストアンサー

ギブス自由エネルギー(G)の定義は
G = H - TS
H: エンタルピー (J)
S: エントロピー (J/K)
T: 環境温度 (K)

ギブス自由エネルギー変化量(ΔG)は
ΔG = ΔH - TΔS

エンタルピー,エントロピーは対象とする系の
1)温度
2)圧力
3)物質の相の数
4)各相での各成分量
が決まると計算できます。

言いかえると、上記1)2)3)4)のどれかが変化するとエンタルピー,エントロピー、そしてギブス自由エネルギーも変化します。

問題を上記1)2)3)4)に照らし合わせると、
1)温度は変化したと記述していないので一定
2)圧力は17MPaから100KPaに変化
3)相(気相、液相、固相)の数は理想気体が凝縮して液体になった、と記述していないので一定
4)各相での各成分量、この場合、気相の理想気体の種類が増えた減った、0.022molが増えた減ったと記述していないので一定

3)4)はちょっと強引なところありますが、幅広く題意を捉えるための説明です。

まずエンタルピー変化ΔHを計算します。
結論から言うとΔH = 0です。
理想気体1mol当たりのエンタルピーは温度変化した場合にのみ変化し、圧力により変化しません。
これは理想気体の状態式(PV=RT)とエンタルピー計算式(微分形で与えられます)から導出されます。
圧力は変化していますが温度が変化していないのでΔH = 0。

次にエントロピー変化ΔSを計算します。
理想気体1mol当たりのエントロピーは温度変化、圧力変化で変化します。
温度変化は無いので温度変化相当のΔSは0。
圧力変化相当のΔSは理想気体の状態式(PV=RT)とエントロピー計算式(これも微分形)から導出され
-nR*ln(P1/P0)・・・微分形を圧力P0からP1まで積分した結果
となります。

n 理想気体mol数: 0.022 (mol)
R 理想気体定数: 8.31 (J/mol.K)
P0 変化前の圧力: 17MPa = 17000KPa
P1 変化後の圧力: 100KPa

圧力変化相当のΔS = - 0.022 x 8.31 x ln(100/17000) = 0.934 (J/K)

まとめますと

ΔG = ΔH - TΔS
ΔH = 0
T 環境温度: 298 (K)
ΔS = 0.934 (J/K)
ΔG = 0 - 298 x 0.934 = - 278.3 (J)

まどろっこしい説明になりましたが理想気体の圧力変化に伴うギブス自由エネルギー変化量(ΔG)は
ΔG = nRT*ln(P1/P0)
でさっと計算できます。

ギブス自由エネルギー(G)の定義は
G = H - TS
H: エンタルピー (J)
S: エントロピー (J/K)
T: 環境温度 (K)

ギブス自由エネルギー変化量(ΔG)は
ΔG = ΔH - TΔS

エンタルピー,エントロピーは対象とする系の
1)温度
2)圧力
3)物質の相の数
4)各相での各成分量
が決まると計算できます。

言いかえると、上記1)2)3)4)のどれかが変化するとエンタルピー,エントロピー、そしてギブス自由エネルギーも変化します。

問題を上記1)2)3)4)に照らし合わせると、
1)温度は変化したと記述していないので一定
2)圧力は17MPaか...続きを読む

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html


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