(1)不定積分∫[(e^6x+2e^4x+e^2x+4)/{e^x(e^x+1)^2}]dx
(2)無限積分∫{(∞,0)(e^-x^3)}dx
(3)Dを直線y=2-xと曲線y=1+√(1-x^2)で囲まれた領域とする時,
  ∫∫[(D){x(x^2+1)}/y^2]dxdy
この三つの計算方法を教えてください。

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A 回答 (4件)

すみません。


(2)なんですけれど。全然テクニックなんていりませんでした。
お恥ずかしい。
いきなり、x^3=tとおいてください。
1/3*t^(-2/3)*e(-t)dtの積分になりますから、
ガンマ関数の定義より、
1/3*Γ(1/3)が答え。
これで終っていました。m(__)m

この回答への補足

ガンマ関数の定義を教えてもらえませんか?

補足日時:2002/03/03 11:26
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あらら、(3)がほったらかしみたいです。



 中心(x,y)=(0,1), 半径1の円(の上半分)を、この円と(x,y)=(0,2)と(x,y)=(1,1)で交差する直線で切り取ったカマボコ形の領域がDですね。"D"って文字の形そのまんまです。(<どうでもいいじゃない)
で、
∫∫x(x^2+1)/y^2dxdy  ((x,y)∈D)
の定積分をやれ、つう訳です。
 円と直線の交点を見れば分かるとおり、yの変域は
1≦y≦2
であり、xの変域は(yを定数だと思えば)
2-y≦x≦√(2y-y^2)
ですね。(えと、2-yと√(2y-y^2)てのはそれぞれ y=2-x をxについて解いたもの、 y=1+√(1-x^2) をxについて解いたもの、です。)
 ゆえに、内側の積分は(yを定数だと思ってやればいいので)
J(y) = (1/(y^2))∫x(x^2+1)dx (x=2-y~√(2y-y^2))
であり、これは簡単。yの関数として表されます。そして、外側の積分は
∫J(y) dy (y=1~2)
ということになります。これも簡単。
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私は(1)に回答します。


分母の式は eのx(e^x+1)^2 乗 ではなく、
eのx乗 に (e^x+1)^2 をかけている、と見て解きました。

I=∫[(e^6x+2e^4x+e^2x+4)/{e^x(e^x+1)^2}]dx と置き、
eのx乗 を t 、被積分関数をf(x)と置くと、
f(x)={t^6+2t^4+t^2+4}/ {t(t+1)^2}
    ={t^6+2t^4+t^2+4}/ {t^3+2t^2+t}
そこで、実際に t^6+2t^4+t^2+4 を t^3+2t^2+t で割ってみる(筆算する)と、
商は t^3-2t^2+5t-8  、余りは 12t^2+8t+4
であるから、分子={t^3+2t^2+t}*{t^3-2t^2+5t-8} +{12t^2+8t+4} で、
f(x)= t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t^3+2t^2+t}
    = t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2}
ここで、{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} を部分分数に展開する。つまり、
{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = a/t + (bt+c)/(t+1)^2
と置き、この右辺を通分して計算する。
この右辺={a(t+1)^2+(bt+c)t} /{t(t+1)^2}
    ={at^2+2at+a +bt^2+ct} /{t(t+1)^2}
    ={(a+b)t^2 +(2a+c)t +a} /{t(t+1)^2}
これを左辺と比較して、a+b=12 , 2a+c=8 , a=4
連立して解くと、a=4 , b=8 , c=0
したがって、{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = 4/t + 8t/(t+1)^2
以上から、 
f(x)= t^3-2t^2+5t-8 +{12t^2+8t+4}/{t^3+2t^2+t}
    = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + 8t/(t+1)^2
    = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + (8t+8-8)/(t+1)^2
    = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + (8t+8)/(t+1)^2 -8/(t+1)^2
    = t^3-2t^2+5t-8 +4/t + 8/(t+1) -8/(t+1)^2
    =(e^(3x))-2(e^(2x))+5(e^x)-8 +4e^(-x) +8/(e^x+1) -8/(e^x+1)^2
これを積分する。
I=∫{(e^(3x))-2(e^(2x))+5(e^x)-8 +4e^(-x) +8/(e^x+1) -8/(e^x+1)^2}dx
 =(1/3)e^(3x)-2(1/2)(e^(2x))+5(e^x)-8x-4e^(-x)+ 8* ∫{1/(e^x+1) -1/(e^x+1)^2}dx
ここで、e^x+1=t と置くと、e^x=t-1  また、 e^x dx=dt
∫{1/(e^x+1) -1/(e^x+1)^2}dx
=∫[{(e^x+1)-1}/(e^x+1)^2]dx
=∫[(e^x)/(e^x+1)^2]dx
=∫[1/(e^x+1)^2]*(e^x)dx
=∫[1/t^2] dt
=-1/t +K
=-e^(-x) +K   (K は積分定数)
となるから、
I =(1/3)e^(3x)-2(1/2)(e^(2x))+5(e^x)-8x -4e^(-x) +8*(-e^(-x)) +C
 =(1/3)e^(3x)- (e^(2x))+5(e^x)-8x +4e^(-x) +C
                      (ただし C は積分定数)
計算違いがあるかもしれませんので、確認してください。  

この回答への補足

申し訳ありません。
次の点を教えてもらえますか。
何故、{{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = a/t + (bt+c)/(t+1)^2}
となるのでしょうか。

補足日時:2002/03/03 00:09
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(1)問題の式がよくわかりません。


(2)これは、ちょっとテクニックがいるのでヒント。
e^(-x^3)=1*e^(-x^3)とみて、f=e^(-x^3),g'=1とおいて
部分積分する。[fg]は0になるし、のこりは
(3x^3)*e^(-x^3)の積分になるので、変数変換(x^3=tとでも置いて)で
t^(1/3)e^(-t)dtの積分になるから、あとは数学の公式集をみるしかなくて
っていうか、ガンマ関数の定義の式にぴったりはまるので、
答えは、Γ(4/3)=1/3*Γ(1/3)。Γ(x)は、ガンマ関数。
Γ関数は自分で勉強してね。
(3)この重積分は、教科書をみて地道に解きましょう。
(っていうか、本当は疲れた。)

(2)だけ自信あり。
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