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テレビで「ドミノ倒し」を見たとき、疑問に思ったコトなのですが、

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階段の個々の段に1個ずつドミノを置いていき、最下段のドミノを静かに押し倒して
階段に並べたドミノが下から上へ倒れていく状態を考えます。

この階段を無限に高くしていくとき、ドミノはどの程度の高さまで倒れるのでしょうか?
(階段の最下段は、地表面。 空気抵抗は無視。)
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高度が高いほど重力加速度は小さくなるので、どこかで倒れなくなると思うのですが。。
できれば、答えだけでなく考え方もお願いします・・・。

A 回答 (1件)

ドミノが倒れる際に、重心がちょっとだけ高くなってから倒れるとおもいますが、


そのときに、乗り越えなくてはならないエネルギーは普通に立っている状態からの高さの差ΔHとすると
全質量のmと重力定数g(h)(hは高さ)を使って

mg(h)ΔH

と表されます。このとき、最高点で止まってしまう(=すべてが位置エネルギーに食われてしまう)ようなことがなければ
ドミノは倒れます。その時に開放されるエネルギーはmg(h)(ΔH+ΔH')。ΔH'は倒れこんだ高さ。となるので、
つぎのドミノの重心の位置をh+Δhとすると、つぎのドミノが倒れるための条件は

mg(h+Δh)ΔH<mg(h)(ΔH+ΔH')

これにg(h)=G/(h+R)(Rは地球の半径)として

g(h+Δh)/g(h)=(h+R)/(h+Δh+R)~1-(Δh/(h+R))

これより

1-(Δh/(h+R))<1+ΔH'/ΔH

となる条件はいつも満たされることから、特に問題なくどこまでも倒れていくと思います。

※つまり、スゴイ高いドミノを考えてみてもらうと分かりますが、地表にあるほうが力強くたおれて、
宇宙にある方が倒れやすいので、どこまでも倒れていくわけです。
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