万有引力の問題

問　パリとロンドンに真直ぐの地下鉄が通ってます。二都市間は重力によってのみの力で移動します。地球の半径をRとする。このときの最大速度を求めろ。

この問題の解答を見ると
ポテンシャルU=∫（GmM/R^3*r)dr　積分範囲R～ｒ
となっています。なぜですか？
∫（GmM/r^2)drは見たことあります。

No.1 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/07/04 19:02

正確にポテンシャルを求めると、当然質問者さん

の提示した∫（GmM/r^2)drが正しいでしょう。
実際に計算してみても、そうなりました。以下参考までに。

ロンドンとパリを結ぶ直線の半分の長さをaとします。
ロンドンから、パリに向かって距離sの地点と
地球の中心との距離をrとします。距離sの地点における、万有引力はGMm/r^2です。
この力の、鉄道の方向の成分は、
GMm/r^2・(a-s)/rとなります。
そして、ポテンシャルU(r)=-∫GMm/r^2・(a-s)/rds
となります。また、三平方の定理を粘り強く
適用すればa-s=√(r^2-R^2＋a^2)とでて
また、ds=-rdr/√(r^2-R^2＋a^2)となりますから
∫の中身に代入すると、結局√がキャンセルされて
U(r)=∫（GmM/r^2)drとなります。積分すれば
U(r)=GmM(1/R-1/r)となります。これが正確なポテンシャルのはずです。

∫（GmM/R^3*r)dr　となっているのは、おそらく近似です。ロンドンとパリがほとんど離れていないとして
R-r=Δd<<1とでもして、近似を行うのでしょう。
r=R-ΔdをGmM/r^2に代入すると、
1/r^2=(R-Δd)^-2={R(1-Δd/R)}^-2
=(1/R^2)(1＋2Δd/R)=(1/R^2){1＋2(R-r)/R}
=(1/R^2){(3R-2r)/R}ここで、3R-2r=rとおくと
r/R^3となるから、係数をかければ一致します。
なんでこういうことをするかというと、rに比例する
力を想定できるなら、運動が単振動になって
解析しやすくなるからでしょう。

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/07/04 19:41

これは、近似計算ですね。

ｒ<Rとしたとき、半径ｒの点で質量mの質点に働く重力は、半径ｒの球の内部に含まれる質量M(r)がｍに及ぼす重力GmM(r)/|r|^3*rに等しくなります。ただし、rはベクトルです。ポテンシャルは正確には、U=∫（GmM(r)/|r|^3*r)・dr　です。r・drはベクトルrとdrのスカラー積です。しかし、パリとロンドン間のように近距離の場合には、M(r)≒M,|r|≒Rとすることができます。この理由は地球の内部構造とパリ・ロンドン間の位置関係を考えれば明らかでしょう。　

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2006/07/06 01:03

一般に、球対称な質量分布の場合、中心から距離ｒの位置にある質量ｍの物体は、「半径ｒの球の内部にある質量Ｍ(r)が、中心に集まった時の万有引力(＝ＧmＭ(r)/r^2)」を受けます。

地球が、密度が一様であるとすると、Ｍ(r)はr^3に比例しますので、受ける力ＧmＭ(r)/r^2はrに比例します。

・受ける力はｒに比例する
・地表(r=R)で受ける力はＧｍＭ/Ｒ^2

の二つから、ｒの位置で受ける力は、ＧｍＭr/R^3という事になります。

力を積分したのがポテンシャルですから、
＞ポテンシャルU=∫（GmM/R^3*r)dr　積分範囲R～ｒ
という事になります。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/07/06 16:40

♯１です。

Mのr依存性をすっかり忘れていました。
ということで、♯１でやったMを、定数ではなく
M(r)=ρ・4/3πr^3と置き換えてください。F・dsの計算は、♯１でやったものと全く同じで、♯１の議論は
M(r)は関係なく成り立つから、結局∫（GmM/r^2)drの式が使えます。

∫（GmM(r)/r^2)dr=∫Gmρ・4/3πr^3(1/r^2)dr
=∫Gmρ(4/3)πrdr　ここで、ρ=M/(4/3πR^3)ですから
結局U=∫GmMr/R^3drが出てきます。近似は関係ありませんでしたね。

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2006/07/10 01:45