因数分解です

x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1
の因数分解です。
自分では
x^2(y^2-1)-(y^2-1)+4xy
として(y^2-1)を共通項Aと考えました。
x^2A-A+4xy
A(x^2-1)+4xy
とここまでやりましたが、この先進みません。
そもそもの考え方が違うのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.4 回答者： thrush76 回答日時： 2006/08/15 21:25

#1です。

答えは他の皆さんが書いてらっしゃるので、自分の回答の訂正だけ。

誤 (y+1)^2 x^2 + 4xy - (y+1)^2
正 (y+1)(y-1) x^2 + 4xy - (y+1)(y-1)
ほかは合っていると思いますので。

No.3 回答者： debut 回答日時： 2006/08/15 20:55

(xy+1)^2を展開すれば、x^2y^2+2xy+1となることと、(x-y)^2を展開

すれば　x^2-2xy+y^2　で、これに-1倍すると -x^2+2xy-y^2　に
できることからではどうでしょうか？

あるいは、xについて整理して、(y^2-1)x^2+(4y)x+1-y^2　から
(y+1)(y-1)x^2+(4y)x-(y+1)(y-1)　でたすきがけを考えて
(y+1)　-(y-1)→ -y^2+2y-1
　　Ｘ
(y-1)　(y+1)→ y^2+2y+1
　　　　　　　　　　↑たして 4y　
になるので、因数は{(y+1)x-(y-1)}と{(y-1)x+(y+1)}。

No.2 ベストアンサー 回答者： Musicful-hearts 回答日時： 2006/08/15 20:45

高１の因数分解の手順は、、

(1)はじめから共通因数があれば、くくりだす
(2)最低字数の文字について降べきの順に整理する
(3)係数で因数分解できるところは因数分解する
(4)共通因数があればくくりだす
(5)残りを因数分解する

x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1
これをxについて降べきの順に整理します。
=(y^2-1)x^2+4yx+(1-y^2)
係数が因数分解できるので因数分解します。
=(y+1)(y-１)x^2+4yx+(1+y)(1-y)
残りを因数分解します。たすきがけです。
(y-1)(1-y)=-y^2+2y-1
(y+1)(1+y)=y^2+2y+1
足すと、4yになるので、
={(y-1)x+1+y}{(y+1)x+1-y}
{=(xy-x+y+1)(xy+x-y+1)}
最後のはやらなくても正解かもしれません。

共通項Aとおいてしまったのが間違いです。

No.1 回答者： thrush76 回答日時： 2006/08/15 20:39

まず、xについての多項式と見て、

(与式)
= (y^2 - 1)x^2 + 4xy - (y^2 - 1)
= (y+1)^2 x^2 + 4xy - (y+1)^2
たすきがけの要領で、
(与式)
= {(y+1)x - (y-1)}{(y-1)x + (y+1)}
あとはご自分で。