解き方&答えを教えてください!

(1) ax^3-3x^2-17x-b=(x+1)(x-4)(cx+d)

もしかしたら簡単な問題かもしれませんが・・・
実は恒等式をまだ習っていないのです!やり方がわかりません。。。
どうか上の問題のやり方と答えを教えてください!

A 回答 (4件)

お二方のアドバイスで、もう解けましたか?


実際に解いてみますので、答え合わせしてください。
とその前に恒等式の意味をおさらいしますと、xについての恒等式というのはどんなxの値についてもその等式は成り立つというものです。
例えば展開(因数分解)しただけの式
(x-1)(x+3) = x^2 +2x -3
もxの恒等式です。

では解きますよ。
まず、starfloraさんの説明ででてきた二つの関係式を抑えておきます。
a = c ---<1>
b = 4d ---<2>
とします。先に説明したように恒等式ならばxがどんな値でも成立しますから、実際にxに適当な値を代入してしまいます。
適当といっても、計算が容易になるように工夫が必要です。
x=-1とかx=4 と先のお二方が言っているものこのためで、この値を代入すると与式(1)の右辺が0になってくれる、つまりcとdが消えてくれるわけです。
x= -1 を代入すると
a(-1)^3-3(-1)^2-17(-1)-b = 0
-a-3+17-b = 0 ∴a+b = 14 ---<3>
x= 4 を代入すると
a・4^3-3・4^2-17・4-b = 0
64a -48-68-b = 0 ∴64a-b = 116 ---<4>
<3>と<4>の連立方程式を解いて
a = 2, b= 12
これを<1>,<2>に代入して c = a = 2, d = b/4 = 3
答え: a=2,b=12,c=2,d=3


(別解=基本的な解き方)
右辺を展開すると
(x+1)(x-4)(cx+d)=(x^2-3x-4)(cx+d) = cx^3+(d-3c)x^2-(4c+3d)x-4d
左辺の各項の係数を比較して
a = c ---<ア>
3c-d = 3 ---<イ>
4c+3d = 17 ---<ウ>
b = 4d ---<エ>
<イ>×3 +<ウ> より 13c = 26 よって c = 2
<ア>より a=c=2
<イ>より 6-d = 3 よって d = 3
<エ>より b = 4d = 12
答え: a=2,b=12,c=2,d=3
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問題


「方程式と恒等式の違い考えよ」

尚、「未知数」は値を求めるべき数、係数は「未知数以外の数」とする。
答えは書かなくてもいいです。
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  これは、右辺を展開して、係数を較べると、多分、4元1次方程式ができますから、そこから解くことができます。
 
  あるいは展開しなくとも、xの3次項の係数は、(1)*(1)*(c)= c で、これが、aですから、a=cという式が出てきます。
 
  また、xのゼロ次項の係数は、(+1)*(-4)*(+d)= -4d で、これが、-bですから、-b=-4dつまり、b=4dの関係が出てきます。
 
  後、siegmund さんの言われているように、x=-1とか、x=+4とか代入すると別の関係式が出てきて、案外、簡単に解ける可能性があります。実は、これは、右辺を展開しているのと、事実上同じことなのです。
 
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(1)  ax^3-3x^2-17x-b=(x+1)(x-4)(cx+d)


が恒等式になるように a,b,c,d を定めよ,ということでしょうか?

標準的な方法は,右辺をバラして左辺と比べて同じ式になるようにすることです.
つまり,x^3 の係数,x^2 の係数,x の係数,定数項,
これらが左辺と右辺で等しくなるようにすればOK.
4本の連立方程式になりますが,決めるべきなのは a,b,c,d の4つですから
話は合いますね.
あとはお任せします.

少し慣れてきますと,x^3 の係数や定数項はすぐ見えるとか,
x=-1 や x=4 と置いてみるとか,
そういうこともできますが,最初のうちは上の標準的方法をおすすめします.
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4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

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中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

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ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

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更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

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----------------------------------------------------------------

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4x^2-9y^2+28x+49
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=4x(x+7)-(3y+7)(3y-7)
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この因数分解はどのような規則から成り立ち、どうすればこの解法が思いつきますか?

Aベストアンサー

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが,
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です.
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると,4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて,
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので,怪しいのは 7 と疑えますし
そうすれば,-9y^2+49 は-(3y+7)(3y-7) なのもすぐ見えます
かけて -9y^2+49 になるのは -1 3y+7 3y-7 ですので
これを組み合わせて「足して14」となるのならば
y がじゃまなので -3y+7 3y+7 です
ですので

= ( (2x)-3y+7 ) ( (2x)+3y+7 )
=(2x-3y+7)(2x+3y+7)

です。質問文はタイプミスです.

一般論です.
どんな二次式でも因数分解できならば
かならず,1次式と一次式の積になります.
かならず答えは
(ax+by+c)(a'x+b'y+c') という形の式の積です
文字がx,yだけではなくて,
もっと増えても本質は同じです.

つまり,二次式であれば,効率性を考えなければ
かならず,上で挙げたような「降べき」で整理して
たすきがけを行えば必ず解けるんです.

また,(ax+by+c)(a'x+b'y+c')と因数分解できるのであれば
No.2さんのおっしゃるとおり
(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0という方程式は
x=-(bx+c)/a, -(b'y+c)/a'
という「解」を持ちます.そこを逆手にとって
最初から「降べき」に整理して
二次方程式の解の公式に持ち込んでしまうというのもありです.

どうやるにしろ,因数分解は
ひたすら経験を積んで,最短(と思われる方法で)
直感で解けるようになることが必須です.
試行錯誤の積み重ねが必要です.

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが,
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です.
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると,4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて,
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので,怪しいのは 7 と疑えますし
そうすれば,-...続きを読む


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