恒等式についての問題です。

解き方＆答えを教えてください！

(1) ax^3-3x^2-17x-b=(x+1)(x-4)(cx+d)

もしかしたら簡単な問題かもしれませんが・・・
実は恒等式をまだ習っていないのです！やり方がわかりません。。。
どうか上の問題のやり方と答えを教えてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： hinebot 回答日時： 2002/03/17 14:54

お二方のアドバイスで、もう解けましたか？

実際に解いてみますので、答え合わせしてください。
とその前に恒等式の意味をおさらいしますと、xについての恒等式というのはどんなxの値についてもその等式は成り立つというものです。
例えば展開（因数分解）しただけの式
(x-1)(x+3) = x^2 +2x -3
もxの恒等式です。

では解きますよ。
まず、starfloraさんの説明ででてきた二つの関係式を抑えておきます。
a = c ---<1>
b = 4d ---<2>
とします。先に説明したように恒等式ならばxがどんな値でも成立しますから、実際にxに適当な値を代入してしまいます。
適当といっても、計算が容易になるように工夫が必要です。
x=-1とかx=4 と先のお二方が言っているものこのためで、この値を代入すると与式(1)の右辺が０になってくれる、つまりcとdが消えてくれるわけです。
x= -1　を代入すると
a(-1)^3-3(-1)^2-17(-1)-b = 0
-a-3+17-b = 0 ∴a+b = 14 ---<3>
x= 4 を代入すると
a・4^3-3・4^2-17・4-b = 0
64a -48-68-b = 0 ∴64a-b = 116 ---<4>
<3>と<4>の連立方程式を解いて
a = 2, b= 12
これを<1>,<2>に代入して　c = a = 2, d = b/4 = 3
答え:　a=2,b=12,c=2,d=3


（別解＝基本的な解き方）
右辺を展開すると
(x+1)(x-4)(cx+d)=(x^2-3x-4)(cx+d) = cx^3+(d-3c)x^2-(4c+3d)x-4d
左辺の各項の係数を比較して
a = c ---<ア>
3c-d = 3 ---<イ>
4c+3d = 17 ---<ウ>
b = 4d ---<エ>
<イ>×3 +<ウ> より 13c = 26 よって c = 2
<ア>より　a=c=2
<イ>より　6-d = 3 よって d = 3
<エ>より　b = 4d = 12
答え:　a=2,b=12,c=2,d=3

No.4 回答者： KaitoTVGAMEKOZOU 回答日時： 2002/03/17 23:26

問題

「方程式と恒等式の違い考えよ」

尚、「未知数」は値を求めるべき数、係数は「未知数以外の数」とする。
答えは書かなくてもいいです。

No.2 回答者： starflora 回答日時： 2002/03/17 04:19

　

　　これは、右辺を展開して、係数を較べると、多分、４元１次方程式ができますから、そこから解くことができます。
　
　　あるいは展開しなくとも、ｘの３次項の係数は、(1)*(1)*(c)= c で、これが、ａですから、ａ＝ｃという式が出てきます。
　
　　また、ｘのゼロ次項の係数は、(+1)*(-4)*(+d)= -4d で、これが、－ｂですから、－ｂ＝－４ｄつまり、ｂ＝４ｄの関係が出てきます。
　
　　後、siegmund さんの言われているように、ｘ＝－１とか、ｘ＝＋４とか代入すると別の関係式が出てきて、案外、簡単に解ける可能性があります。実は、これは、右辺を展開しているのと、事実上同じことなのです。
　

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2002/03/17 04:02

(1)　　ax^3-3x^2-17x-b=(x+1)(x-4)(cx+d)

が恒等式になるように a,b,c,d を定めよ，ということでしょうか？

標準的な方法は，右辺をバラして左辺と比べて同じ式になるようにすることです．
つまり，x^3 の係数，x^2 の係数，x の係数，定数項，
これらが左辺と右辺で等しくなるようにすればＯＫ．
４本の連立方程式になりますが，決めるべきなのは a,b,c,d の４つですから
話は合いますね．
あとはお任せします．

少し慣れてきますと，x^3 の係数や定数項はすぐ見えるとか，
x=-1 や x=4 と置いてみるとか，
そういうこともできますが，最初のうちは上の標準的方法をおすすめします．