解き方&答えを教えてください!

(1) ax^3-3x^2-17x-b=(x+1)(x-4)(cx+d)

もしかしたら簡単な問題かもしれませんが・・・
実は恒等式をまだ習っていないのです!やり方がわかりません。。。
どうか上の問題のやり方と答えを教えてください!

A 回答 (4件)

お二方のアドバイスで、もう解けましたか?


実際に解いてみますので、答え合わせしてください。
とその前に恒等式の意味をおさらいしますと、xについての恒等式というのはどんなxの値についてもその等式は成り立つというものです。
例えば展開(因数分解)しただけの式
(x-1)(x+3) = x^2 +2x -3
もxの恒等式です。

では解きますよ。
まず、starfloraさんの説明ででてきた二つの関係式を抑えておきます。
a = c ---<1>
b = 4d ---<2>
とします。先に説明したように恒等式ならばxがどんな値でも成立しますから、実際にxに適当な値を代入してしまいます。
適当といっても、計算が容易になるように工夫が必要です。
x=-1とかx=4 と先のお二方が言っているものこのためで、この値を代入すると与式(1)の右辺が0になってくれる、つまりcとdが消えてくれるわけです。
x= -1 を代入すると
a(-1)^3-3(-1)^2-17(-1)-b = 0
-a-3+17-b = 0 ∴a+b = 14 ---<3>
x= 4 を代入すると
a・4^3-3・4^2-17・4-b = 0
64a -48-68-b = 0 ∴64a-b = 116 ---<4>
<3>と<4>の連立方程式を解いて
a = 2, b= 12
これを<1>,<2>に代入して c = a = 2, d = b/4 = 3
答え: a=2,b=12,c=2,d=3


(別解=基本的な解き方)
右辺を展開すると
(x+1)(x-4)(cx+d)=(x^2-3x-4)(cx+d) = cx^3+(d-3c)x^2-(4c+3d)x-4d
左辺の各項の係数を比較して
a = c ---<ア>
3c-d = 3 ---<イ>
4c+3d = 17 ---<ウ>
b = 4d ---<エ>
<イ>×3 +<ウ> より 13c = 26 よって c = 2
<ア>より a=c=2
<イ>より 6-d = 3 よって d = 3
<エ>より b = 4d = 12
答え: a=2,b=12,c=2,d=3
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問題


「方程式と恒等式の違い考えよ」

尚、「未知数」は値を求めるべき数、係数は「未知数以外の数」とする。
答えは書かなくてもいいです。
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  これは、右辺を展開して、係数を較べると、多分、4元1次方程式ができますから、そこから解くことができます。
 
  あるいは展開しなくとも、xの3次項の係数は、(1)*(1)*(c)= c で、これが、aですから、a=cという式が出てきます。
 
  また、xのゼロ次項の係数は、(+1)*(-4)*(+d)= -4d で、これが、-bですから、-b=-4dつまり、b=4dの関係が出てきます。
 
  後、siegmund さんの言われているように、x=-1とか、x=+4とか代入すると別の関係式が出てきて、案外、簡単に解ける可能性があります。実は、これは、右辺を展開しているのと、事実上同じことなのです。
 
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(1)  ax^3-3x^2-17x-b=(x+1)(x-4)(cx+d)


が恒等式になるように a,b,c,d を定めよ,ということでしょうか?

標準的な方法は,右辺をバラして左辺と比べて同じ式になるようにすることです.
つまり,x^3 の係数,x^2 の係数,x の係数,定数項,
これらが左辺と右辺で等しくなるようにすればOK.
4本の連立方程式になりますが,決めるべきなのは a,b,c,d の4つですから
話は合いますね.
あとはお任せします.

少し慣れてきますと,x^3 の係数や定数項はすぐ見えるとか,
x=-1 や x=4 と置いてみるとか,
そういうこともできますが,最初のうちは上の標準的方法をおすすめします.
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