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初学者です。
[問] x-y平面上の(原点でy軸に接する)円(x-c)^2+y^2=c^2の族Fを考える。
このFに直交する曲線族Gによって満足する微分方程式を求めよ。
を解いています。
[解]
Fの接線の傾きを求めると
(x-c)^2+y^2=c^2を微分して
2(x-c)+2y(dy/dx)=0
dy/dx=(c-x)/y …(*)
で
FにGが直交するのだから
Gの接線の傾きは(c-x)/yの逆数の-1倍なので
y/(x-c)
よって、Gについての微分方程式は
dy/dx=y/(x-c)
となると思うのですが答えには
(*)にc=(x^2+y^2)/2xを代入してます。
どうしてこれを代入しないといけないのでしょうか?
私のは間違いなのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
微分方程式に限ったことではないですが、「任意のcについて成り立つ式」を解いていたら、途中の式や答えでは「適切なcを取らないと成り立たない」になっていることはよくあります。
(逆は成り立たないので、その場合は任意な変数を消すようにしないといけない)しかし、質問者さんはそのままcを使っており、答えも任意のcで成り立つと思っている(または違いがよくわかっていない)…といったところでしょうか?
質問者さんの解答にあてはめると、
cは任意だからcに適当な数を入れた、dy/dx=y/(x-3) でも dy/dx=y/(x-5) は全ての族Fで成り立つといっているのと同じ。
しかし、たとえば前者だと (x-3)^2+y^2=3^2 でのみ成り立つだけの式でしかない…
というふうです。(微分方程式はあまり得意ではないので、疑問点や問題そのものを取り違えてたらご容赦を)
問題の意味がいまいちつかめてませんでした。
問題の意味は
『Fを集合{{(x,y)∈R;(x-c)^2+y^2=c^2};c∈R}とする。
(つまり、{(x,y)∈R;(x-c)^2+y^2=c^2}というグラフの集まり)
A:=∪{(x,y)∈R;(x-c)^2+y^2=c^2}
c∈R
はFの元がとる領域(原点を除いた第1象限と第4象限)を表す。
∀(x,y)∈Aに対して、
その(x,y)を接点とする(この(x,y)を通るFの元は唯一つしか存在しない)法線の傾きはx,yを使って何と書けるか』
だと思います。
先ず接点(x,y)における接線の傾きは(x-c)^2+y^2=c^2を微分して
dy/dx=(c-x)/y (但し、cは(x-c)^2+y^2=c^2を満たす)
よって法線の傾きはこれの逆数の-1倍なので
dy/dx=y/(x-c) (但し、cは(x-c)^2+y^2=c^2を満たす)
後、この但し書きを取っ払うには
dy/dx=y/(x-c)のcに(x-c)^2+y^2=c^2を代入すればいい訳ですから代入して
dy/dx=2xy/(x^2-y^2)
となるのですね。
もし、再度勘違いしてましたらご指摘ください。
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