対数の比較

【問】次の数を小さい方から順に並べよ。
log0.3 0.5 , log2 0.5 , log3 0.5

底の変換公式を使って
順に1/log0.5 0.3 , 1/log0.5 2 , 1/log0.5 3
となりlog0.5 0.3<0だから
log2 0.5 ,log3 0.5 , log0.3 0.5
となるのはわかるんですが上手い記述の仕方ありませんか？

ちなみにヒントとして
log0.5 0.3 ,　log0.5 2 , log0.5 3を比較する。
と書いてあったのですがこれをどうやって入れればいいのかもよくわかりません。。

No.1 回答者： noname#21330 回答日時： 2006/10/14 20:03

logb c=(loga c)/(loga b)

の公式を使うのが良いのでは？
log0.3 0.5=(loga 0.5)/(loga 0.3)
log2 0.5=(loga 0.5)/(loga 2)
log3 0.5=(loga 0.5)/(loga 3)

それでloga xは、単調増加ですので、答えはもとまります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
えっと、それって底の変換公式ですよね・・・？
ａの所に０．５を代入すれば質問の所のように1/log0.5 0.3 , 1/log0.5 2 , 1/log0.5 3
になるはずです。。
もしlog0.5 0.3 ,　log0.5 2 , log0.5 3を比較せよ。ということなら話は簡単で
log0.5 0.3 <　log0.5 2 < log0.5 3　・・・Ａ
なんですが分子１で逆数になるので説明が難しいんです。。
単純に考えれば逆数なんでＡの大小記号を逆にすればいいんですが
log0.5 0.3＜０なんですよね。
なのでlog0.5 0.3 ,　log0.5 2 , log0.5 3を比較する。
というのも上のＡからどうもっていけばいいのか。。。

お礼日時：2006/10/14 20:23

No.2 回答者： noname#21330 回答日時： 2006/10/14 20:53

そうですね、底の変換公式を使っておられましたね。

これも書いておられるとおり、逆数の場合はその符号によって、
性質が変わるので、正と負それぞれで場合わけして大きさを決め、
最後に、負＜正というような記載で問題ないかと思います。

No.3 ベストアンサー 回答者： postro 回答日時： 2006/10/14 22:52

基本的なところで誤解していませんか？

＞　log0.5 0.3<0だから
↑これ間違ってます。log0.5 0.3＞0　ですよ
y=log0.5 x は減少関数です。このグラフを思い出してください。
log0.5 0.3 ＞0＞log0.5 2＞log0.5 3　だから、その逆数を考えると
1/(log0.5 0.3) ＞0＞1/(log0.5 3)＞1/(log0.5 2)
ですね。
次のような考え方もあります。
y=log0.3 x
y=log2 x
y=log3 x
この3つのグラフを重ねて描いて、x=0.5 のときのy を比較すれば直接わかってしまいます。

No.4 回答者： debut 回答日時： 2006/10/14 22:54

log[0.5]0.3は正、逆にlog[0.5]2などの方が負でしょう。

試しに、log[0.5]2=log[10]2/log[10]0.5
　　　　　　　　　=log[10]2/log[10](1/2)
　　　　　　　　　=log[10]2/(log[10]1-log[10]2)
　　　　　　　　　=log[10]2/(-log[10]2)=-1
　まあ、1/2の－１乗は２なのだから・・・

だから、log[0.5]0.3＞０＞log[0.5]2＞log[0.5]3　となり
ませんか？
よって、1/log[0.5]2＜1/log[0.5]3＜０＜1/log[0.5]0.3
となるのでは？