数字のトリック？？

友人が足し算で不思議な法則を発見？しました。
なぜこんな現象になるのか、何か数式が当てはめられるか
考えてもらえますか？

まず、何でもいいので数字を出します。例えば、
「41」「38」「107」「5298」
これを普通に足すと「5484」です。
これを一つづつ足すと5+4+8+4＝21、さらに一つづつ足すと「3」
になりますね。

次に、最初の4種類の数字を一つづつ足すと
4+1+3+8+1+0+7+5+2+9+8＝48
これを一つづつ足すと4+8＝12
さらに一つづつ足すと「3」
同じ数字が出てきます。

どんな数字でやってみても、最後は同じ数字になるんです。

なんかすごい発見のようで実は当然なことをやってるようにも
思うんです。
数字に全く苦手な私と友人にわかりやすく説明してもらえませんか？！

No.1 回答者： hiiniichan 回答日時： 2006/10/29 00:47

有名な話ですよ。

http://fleshwords.at.infoseek.co.jp/dt/dt055.htm

No.2 回答者： NNori 回答日時： 2006/10/29 00:50

たぶんこういうことかな？

ばらして足してって答えがさらに２桁以上になったらさらにばらして足していくという行為は９で割った余りを求めてることになる。
●例えば、数字が abcd だったらこれは
a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d
= ( a + b + c + d ) + ( a * 999 + b * 99 + c * 9 )
２番目の（）は９で割り切れますよね？

さて、問題の行為は足してから９で割った余りを求めてるのと、９で割った余りをもとめてから足してることになるので、答えは同じになるということなんじゃないかな。

No.3 回答者： hiiniichan 回答日時： 2006/10/29 00:50

あッ！ごめんなさい。

読み間違ってました。m(_ _)m

No.4 回答者： riku2451 回答日時： 2006/10/29 01:01

いずれの方法も、途中で「位」を捨てて計算しています。

(10の位、100の位、1000の位、の部分です)
位を捨てる以上、どの段階でそれを捨てても最終的に計算するのは4+1+3+8+1+0+7+5+2+9+8になります。
↑の並びの順番、（）の位置が入れ替わるだけです。
普通に足す方法だと、
41= 10x4+1x1
38= 10x3+1x8
107= 100x1+10x0+1x7
5298=1000x5+100x2+10x9+1x8
と分解され、
=(1+8+7+8)x1+(4+3+0+9)x10+(1+2)x100+(5)x1000
と整理できます。
そして「位を捨てる」のですからx1,x10,x100,x1000の部分を消します。すると
=(1+8+7+8)+(4+3+0+9)+(1+2)+(5)となり合計値は48になります。
ためしに最初の「41」「38」「107」「5298」の「」内の数字をランダムに順番を入れ替えて最初の方法で計算してみてください。
やはり同じ答えになります。
こんな感じでどうでしょう？

No.5 ベストアンサー 回答者： good777 回答日時： 2006/10/29 05:38

＞まず、何でもいいので数字を出します。

例えば、
＞「41」「38」「107」「5298」
＞これを普通に足すと「5484」です。
＞これを一つづつ足すと5+4+8+4＝21、さらに一つづつ足すと「3」
＞になりますね。

＞次に、最初の4種類の数字を一つづつ足すと
＞4+1+3+8+1+0+7+5+2+9+8＝48
＞これを一つづつ足すと4+8＝12
＞さらに一つづつ足すと「3」
＞同じ数字が出てきます。

40000も400も40も4も9で割ったときの余りは4
41は9で割ると4＋1＝5余る
41＋38＋107＋5298＝5498
は9で割ると，5+4+8+4＝21を9で割ったときの余りと等しくなる。
21は2＋1＝3と等しくなる（9で割ったときの余りが）

4+1+3+8+1+0+7+5+2+9+8＝48も9で割ったときの余りが等しくなる。

このようなことを使って検算することを
9去法といいます。
古くから知られていることで,
新発見とはいえません。

しかし，数学が好きになるきっかけにはなるかもしれません。
自分でいろいろ考えて疑問を持ったのは素敵なことだと思います。