「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

ユークリッドノルムと最大値ノルム(スープノルム)についてお聞きしたいことがあります。それぞれのノルムはどういったものなのでしょうか?また,2つのノルムの関係は何かあるのでしょうか?

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A 回答 (7件)

> この2つのノルム(特に最大値ノルム)の何かいい例はあるのでしょうか??



私が大学に入学した頃,その大学の採点方式が二乗平均方式だと聞いた記憶があります.
つまり,各科目の特典を Xi (1≦i≦n) とすると,二乗平均得点は
√((X1^2 + … + Xn^2) / n).
これは一種のユークリッドノルムですね (笑).

なぜ単純平均 (1‐ノルム) にしなかったかというと,
「1科目でも高得点があると,単純平均よりも二乗平均の方が高くなる」
からだそうです.つまり一芸に秀でた学生を採ろうという試みです.

仮に5科目の得点がすべて50点だとすると,単純平均も二乗平均も50点ですが,
1科目だけ100点があるとすると,単純平均では60点,二乗平均では63.2点になります.
同様に3乗平均では66.9,4乗平均では70.7で,最大値ノルムでは100点になります.
最大値ノルムだと,一芸「だけ」に秀でた学生でも受かりますね (笑).
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> m^(1/p) * |Xk| → |Xk| = max(|X1|,|X2|,…,|Xn|).


>
> はどういうことを意味しているのでしょうか??
> "→"は何を意味しているのでしょうか??

(この場合は p→∞ の極限において)
m^(1/p) * |Xk| が |Xk| に収束するということです.

つまりpをどんどん無限に大きくしていくと,
m^(1/p) * |Xk| は |Xk| に無限に近づくということです.
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>ユークリッドノルムと最大値ノルム(スープノルム)についてお聞きしたいことがあります。

それぞれのノルムはどういったものなのでしょうか?

多次元の空間を考えると、点1(x1、X2、・・・・Xn)と点2(y1、y2、・・・yn)の間の距離はユークリッドノルムで定義できるでしょう。

では数列1(x1、X2、・・・・Xn)と数列2(y1、y2、・・・yn)の間に距離という概念が定義できると仮定した場合、それはどのように計算すべきかという問題を考えてみるとします。数列1と数列2はユークリッド空間内にあることが自明であればユークリッドノルムが数列1と数列2の距離概念として採用してOKでしょう。問題はこれが自明でない場合でしょう。

数列の場合、これが自明でない場合の方があたりまえでしょうから、他の距離の尺度として最大値ノルム(スープノルム)が発明された、というのが私流の回答です。ただし、私は数学の素人です。(笑)

>また,2つのノルムの関係は何かあるのでしょうか?

AイコールBかAノットイコールBかだけで数学は構築できないでしょう。(例外はブール代数、2値論理数学でしょう)AノットイコールBとし、かつデジタル的でないアナログ的世界を仮定するなら、どの位「ノットイコール」なの?ということを表す尺度として距離概念を一般化した「ノルム」が必要になったというのが私の解釈です。

夫婦1と夫婦2がいます。仲の良いときは差がありません。しかし夫婦1はどんなに喧嘩しても口喧嘩どまりです。一方、夫婦2は、取っ組み合いの大喧嘩、あげくの果ては奥さんの家出です。で、やっぱりしばらくするとこの奥さん、元のさやにどういうわけか戻ります。最大値ノルムでこの夫婦の夫と妻の距離の差を測ると、数学と同じ結論ですね。
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#2 の訂正です.



誤:p→∞の極限を考えると |Xi|/|Xk| → 0 なので,
正:p→∞の極限を考えると (|Xi|/|Xk|)^p → 0 なので,
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> X1,X2,…,Xnについて絶対値が最大なXkについてその絶対値を|Xk| と書くのでしょうか??



絶対値が最大な Xk は1つとは限りません.だから Xk1,Xk2,…,Xkm と書いたのです.
これらの値は同じとは限りません.Xi が実数ならば+か-かの2通りですが,
複素数ならば絶対値が同じでも異なる偏角を持つものは無数に存在します.
しかしいずれの場合も最大の絶対値 |Xk1|,|Xk2|,…,|Xkm| はすべて同じなので
|Xk| と書いたわけです.


> mというのは何を表しているのでしょうか?

Xk1,…,Xkm のmです.つまり「絶対値が最大であるXの成分の数」です.


> (2) なぜこのような式が成り立つのでしょうか?

多分中学校で習ったと思いますが,平方根の計算方法を思い出してください.
a>0 とすると,√(a^2 * b) = √(a^2) * √b = a * √b ですよね.
p乗根でも同様に (a^p * b)^(1/p) = (a^p)^(1/p) * b^(1/p) = a * b^(1/p).
ここで a = 1/|Xk| としてみてください.

この回答への補足

ありがとうございます。よくわかりましたm(_ _)m。もう1つ質問があるんですけど,

m^(1/p) * |Xk| → |Xk| = max(|X1|,|X2|,…,|Xn|).

はどういうことを意味しているのでしょうか??"→"は何を意味しているのでしょうか??

補足日時:2006/11/11 16:05
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この回答へのお礼

ありがとうございます。あのこの2つのノルム(特に最大値ノルム)の何かいい例はあるのでしょうか??まとまりのない質問ですいません。

お礼日時:2006/11/14 16:46

ノルムはベクトルの「長さ」を一般化した概念です.



ユークリッドノルムは,ユークリッド幾何学の距離に当たるもので,
n次元ベクトル X=(X1, X2, …, Xn) のユークリッドノルムは
∥X∥2 = √(|X1|^2 + |X2|^2 + … +|Xn|^2).

これを一般化して,上式の2乗をp乗に,√をp乗根にしたものを
p-ノルムといいます.
∥X∥p = (|X1|^p + |X2|^p + … +|Xn|^p) ^ (1/p).

X1,X2,…,Xn のうち絶対値が最大のものを Xk1,Xk2,…,Xkm とし,
それらの絶対値を |Xk| と書くと,
∥X∥p = ((|X1|/|Xk|)^p + (|X2|/|Xk|)^p + … +(|Xn|/|Xk|)^p) ^ (1/p) * |Xk|.

|Xki|/|Xk|=1,それ以外の Xi についてはp→∞の極限を考えると |Xi|/|Xk| → 0 なので,
∥X∥p → m^(1/p) * |Xk| → |Xk| = max(|X1|,|X2|,…,|Xn|).

したがって最大値ノルム ∥X∥∞ = max(|X1|,|X2|,…,|Xn|) は,
p-ノルムでp→∞とした場合の極限になります.


ノルム (Wikipedia)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB% …

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%AB% …

この回答への補足

回答ありがとうございます。ここで申し訳ありませんがいくつか質問があります。
「X1,X2,…,Xn のうち絶対値が最大のものを Xk1,Xk2,…,Xkm とし,
それらの絶対値を |Xk| と書くと,
∥X∥p = ((|X1|/|Xk|)^p + (|X2|/|Xk|)^p + … +(|Xn|/|Xk|)^p) ^ (1/p) * |Xk|.

|Xki|/|Xk|=1,それ以外の Xi についてはp→∞の極限を考えると |Xi|/|Xk| → 0 なので,
∥X∥p → m^(1/p) * |Xk| → |Xk| = max(|X1|,|X2|,…,|Xn|).」
とありますが,
(1)「X1,X2,…,Xn のうち絶対値が最大のものを Xk1,Xk2,…,Xkm とし,それらの絶対値を |Xk| と書く」とあるのはどういうことなのでしょうか?X1,X2,…,Xnについて絶対値が最大なXkについてその絶対値を|Xk| と書くのでしょうか??

(2)「∥X∥p = ((|X1|/|Xk|)^p + (|X2|/|Xk|)^p + … +(|Xn|/|Xk|)^p) ^ (1/p) * |Xk|」についてなんですが,なぜこのような式が成り立つのでしょうか?漠然とした質問ですいません。

(3)「∥X∥p → m^(1/p) * |Xk| → |Xk| = max(|X1|,|X2|,…,|Xn|)」についてなんですが,mというのは何を表しているのでしょうか?

以上なんですが質問ばかりで申し訳ありません。ノルムについては初心者なものでアドバイスよろしくお願いします。

補足日時:2006/11/10 00:02
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まず基本的なn次元ユークリッド空間 R^n の場合で。



各 p (=1,2,3,...,∞) と
R^n の点 x = (x_1, x_2, ... ,x_n) に対して、
p-ノルム |x|_p が
|x|_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ... + |x_n|^p)^{1/p}
(|x_j| は通常の実数の絶対値) 
で定義されます。
2-ノルム ||_2 がユークリッドノルムです。

また最大値ノルム ||_∞ は
|x|_∞ = max{|x_j| ; 1 ≦ j ≦ n }
で定義されるノルムです。

ここで最大値ノルムの記号から気付かれたかもしれませんが、
最大値ノルムは p-ノルムの定義で p → ∞ としたもの
と解釈されます。
なのでユークリッドノルムと最大値ノルムには直接の関係は
ありませんが一応関係があると言えなくもありません。

p-ノルムが p が大きくなるにつれ最大値ノルムに近づく様は
p-ノルムによる原点を中心とした「円」
C_p : { x ; |x|_p = 1 }
が C_2 が通常の単位円で、pが大きくなるにつれ四角くなって
いくのを観察すれば視覚的に理解できるかと思います。
(最大値ノルム ||_∞による単位円は
 C_∞:{ x ; |x|_∞ = 1 }
 で原点中心の四角形です。)

sup-ノルムは無限次元の場合(数列空間, 関数空間等)
の場合に上記の max を sup で置き換えたノルムです。

有限次元ユークリッド空間では各p-ノルムにより定義される
位相を導入した位相空間は同相になるので、ノルムの違いは
あまり問題になりませんが, 無限次元になると同相でない
位相を生成するノルムが各種あって、設定している問題に
適当なノルムを選択して考える必要があります。
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Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q行列のノルム

以下、xはn次元ベクトル、A=(a(i,j))はn×n行列とします。

■||x||_2 = √{Σ_[j=1~n](x_j)^2} (ユークリッドノルム)
※x_jは、xの第j成分です。
このノルムを採用したとき、行列Aのノルムは以下のように定義することが出来る。
・||A||_2 = MAX_[x]{||Ax||_2/||x||_2}
この具体的な表現は以下で与えられる、らしいのですが…。
・||A||_2 = MAX_[k]{√(μ_k)} (μ_kは、BをAの転置行列として、BAの固有値。)
本を読んでも、「簡単に導出できるので試みられたい。」とかしか書かれておらず、困っています。どうやって導出するのでしょうか?僕には簡単に導出できません。

また、
■||x||_∞ = MAX_[k]{|x_k|}  ※x_kは、ベクトルxの第k成分。
このノルムを採用したとき、行列Aのノルムを
・||A||_∞ = MAX_[x]{||Ax||_∞/||x||_∞}
と定義できて、この具体的な表現は、
・MAX_[i]{Σ_[j=1~n]|a(i,j)|}
で与えられるらしいのですが、本を読んでも、これも証明が省かれています。
||A||_1についてはきちんと証明が載っているのですが…。

どちらか片方ずつでも、おねがいします。

以下、xはn次元ベクトル、A=(a(i,j))はn×n行列とします。

■||x||_2 = √{Σ_[j=1~n](x_j)^2} (ユークリッドノルム)
※x_jは、xの第j成分です。
このノルムを採用したとき、行列Aのノルムは以下のように定義することが出来る。
・||A||_2 = MAX_[x]{||Ax||_2/||x||_2}
この具体的な表現は以下で与えられる、らしいのですが…。
・||A||_2 = MAX_[k]{√(μ_k)} (μ_kは、BをAの転置行列として、BAの固有値。)
本を読んでも、「簡単に導出できるので試みられたい。」とかしか書かれておらず、困っています。ど...続きを読む

Aベストアンサー

Aは実行列ですね
(1)∥・∥がユークリッド∥の時
A^T・Aのn個の固有値をμ[1],μ[2],・・・,μ[n]とし
Λ=diag(μ[1],μ[2],・・・,μ[n])とし
A^T・Aは実対称行列だから直交行列によって対角化されるのでA^T・Aを対角化する直交行列をRとすると(すなわちR^T・A^T・A・R=Λ)
∥A・x∥^2=
(A・x)^T・(A・x)=
x^T・(A^T・A)・x=
x^T・(R・R^T)・(A^T・A)・(R・R^T)・x=
(R^T・x)^T・R^T・(A^T・A)・R・(R^T・x)=
(R^T・x)^T・Λ・(R^T・x)=
Σ(1≦k≦n)・μ[k]・y[k]^2
なおR^T・x=[y[1] y[2] ・・・ y[n]]^Tとした
また∥x∥^2=x^T・x=x^T・R・R^T・x=∥R^T・x∥^2
従って
∥A・x∥/∥x∥=
∥A・(R^T・x)∥/∥(R^T・x)∥=
√(Σ(1≦k≦n)・μ[k]・y[k]^2)/√(Σ(1≦k≦n)・y[k]^2)
=√(Σ(1≦k≦n)・μ[k]・e[k]^2)
ただしe[k]=y[k]/√(Σ(1≦k≦n)・y[k]^2)
μ[k]が最大の時e[k]を1とし他のe[・]を0とすれば上式が最大になるでしょう

(2)無限大ノルムのとき
xが1か-1のいずれかとしても同じだからそのようにして
A・xを眺めてみてください
負のものが正になるようにxの成分を1にするか-1にするかをきめればいいのです
(1)でつかれたので(2)は手抜き回答ですのであしからず

Aは実行列ですね
(1)∥・∥がユークリッド∥の時
A^T・Aのn個の固有値をμ[1],μ[2],・・・,μ[n]とし
Λ=diag(μ[1],μ[2],・・・,μ[n])とし
A^T・Aは実対称行列だから直交行列によって対角化されるのでA^T・Aを対角化する直交行列をRとすると(すなわちR^T・A^T・A・R=Λ)
∥A・x∥^2=
(A・x)^T・(A・x)=
x^T・(A^T・A)・x=
x^T・(R・R^T)・(A^T・A)・(R・R^T)・x=
(R^T・x)^T・R^T・(...続きを読む

Q有理数の測度

有理数の集合の測度が0であることの証明は
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.html
が定石だと思うのですが、その証明の過程で起こってることがとっても不思議です
「稠密な集合の1点1点を幅のある区間で覆っている」のに、Rを覆えないどころか、区間の幅の和がいくらでも小さくなっちゃうなんて。。。

このことについて、「なるほど~」と思える解説を教えてください
(集合の濃度にはあまり触れずにおねがいします)
よろしくおねがいします

Aベストアンサー

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在するといったイメージでしょうが、
実際、区間列の生成方法をうまく決めれば、そのような実数を探し出すことができそうな気がします。

そのような実数があったとして、その実数の近くのどの有理数をとっても、
その有理数を含む区間は狭すぎて、その実数を含まない状況になっていると想像できます。

専門家でなく、また、結構ブランクがあるので、ちゃんとした確認までしてませんが、
(と言い訳させていただきますが)
たぶん、あっているのではないでしょうか?

#1です。

> うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。。。

なるほど、質問の意図を読み違えていました。

> だからRを覆っているということはないはずです。

あまり、触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。
Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。
たしかに、Rは、覆っていませんでした。

Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在す...続きを読む

Q条件収束する級数が任意の実数に収束することについて

教科書に次のような定理を見つけました。

定理10.9
条件収束する級数は任意の値c∈Rに対して
適当に級数を並び替えてcに収束するようにできる。
また、発散するように並び替えることができる。

私はこれを読んで次のような疑問を持ちました。

項a[n]をnで対応させて、次のように記述します。
S1=a[1]+a[2]+a[3]…=123…
S2=a[2]+a[1]+a[3]…=213…
S3=a[2]+a[3]+a[1]…=231…

定理より、Snと任意の実数は対応しますよね。

てことは、右辺の自然数を並び替えた集合も実数に対応するということになりますか?

もしそれができてしまうと、自然数を並び替えた集合の濃度と実数の濃度が等しいことになってしまいます。
これは実際考えてみても相当ありえないこととしか思えません。

どなたか、どこか間違っている箇所があったら教えて下さい。

Aベストアンサー

>この部分でおかしいところは有るでしょうか?

いや別にないです。
実際、濃度の意味で、Snの個数=実数の個数です。

濃度という概念を知ってることは確かなようなので、
結局知りたいことは、

>自然数列と実数の濃度が等しいのですか!良かったらそれを解説しているホームページや本があったら教えて下さい。

ここなのかな?
でもこれはちょっとぐぐれば簡単に出てくると思いますけど・・・
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E4%BB%BB%E6%84%8F%E3%81%AE%E9%83%A8%E5%88%86%E9%9B%86%E5%90%88%E3%80%80%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E3%80%80%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%80%80%E6%BF%83%E5%BA%A6&lr=lang_ja&rlz=1I7GGLT_ja

Q一様連続と連続の違い

一様連続と連続の違いは何か。
εδでそれぞれの定義が示されていますが、見てもその違いがよくわかりません。
厳密でなくてもよいので違いはどういうことなのか教えてもらえないでしょうか。
違いがわかれば、一様連続の意味もわかると思いました。

Aベストアンサー

#7さんの
>「連続」+「有界」⇒「一様連続」
も,残念ながら誤りです.
この法則に当てはまる例が多いとはいえますが,すべてがそうではありません.
#4さんが挙げた例のひとつ,f(x)=sin(1/x) (x>0 を定義域として)は,連続かつ有界であって一様連続ではない関数の例です.

「連続」+「○○」⇒「一様連続」
と言う図式で,定理として証明可能な事実としては,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「一様連続」
があります.
一方,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「有界」
という定理もあります.
これらのことから,一様連続性と有界性には一見関係があるように錯覚する可能性がありますが,実は関係ありません.連続関数について,一様連続性と有界性の間には強弱関係は成り立ちません.

この質問に自信を持って回答しようとする優秀な解答者の方々でさえ,こういう勘違いをするのです.
「一様連続」とは何かを感覚的な説明で捉えようとすることは,そのぐらい「危うい」(誤りに陥りやすい)学習姿勢だということを,認識しておいてください.
別の言い方をすると,「一様連続とは何か」について,「ウソのない」感覚的な説明を見つけるのは,そのぐらい難しい(いくつかの例だけにあてはまる説明を安直に作るだけでは,どうしても漏れが生じる)ということです.
だからこそ,最終的には,言葉による厳密な定義をよりどころにするしかないのです.

連続性と一様連続性の違いを取り上げている参考文献をもう1件あげておきます.
新井紀子(著)「数学は言葉(math stories)」東京図書

#7さんの
>「連続」+「有界」⇒「一様連続」
も,残念ながら誤りです.
この法則に当てはまる例が多いとはいえますが,すべてがそうではありません.
#4さんが挙げた例のひとつ,f(x)=sin(1/x) (x>0 を定義域として)は,連続かつ有界であって一様連続ではない関数の例です.

「連続」+「○○」⇒「一様連続」
と言う図式で,定理として証明可能な事実としては,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「一様連続」
があります.
一方,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「有界」
という定理もあります.
これらの...続きを読む


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