モアレとフーリエ変換の関係について

　モアレという現象が、フーリエ変換によって表されるということを聞きました。これは一体どういうことなのでしょうか？どのようにこれらが関連づけられるのか原理から詳しく教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Umada 回答日時： 2002/04/20 17:54

この問題を理解するには、少なくとも二次元画像とその信号処理についての基礎知識(2次元Fourier変換、空間周波数など)が必要です。

それらの知識をshikouteiさんがお持ちだと仮定して説明いたします。(「原理から詳しく」がその基礎知識まで含んでということでしたら、この場のやり取りだけで伝えるのは難しいです)

2次元画像信号g(x, y)に対し、その2次元Fourier変換G(u, v)を
　　　　∞　∞
G(u, v)=∫　∫g(x, y) exp(-j・2π(ux+vy)) dx dy　　　(1)
　　　 -∞ -∞
と定義します。g(x, y)は具体的には濃淡値などです。jは虚数単位です。
2次元空間の正弦波(すなわち、縞模様)に対して、G(u, v)が値を有するのはuv平面上のある1点です(*1)。その点がその2次元正弦波の空間周波数ということになります。これは時間軸上の正弦波が、周波数スペクトル上のある1点に対応することと同じです。
例えば以下の周波数平面の図で、A点はy方向にのみ変化する縞、Bはx方向にのみ変化し周期はそれより長い縞を表します。Cは斜めの縞に対応します。

　　　　　　　v
　　　　　　　↑
　　　　　　　○A
　　　　　　　│　　　×C
　　　　　　　│
　　　　　　　│　　B
───────┼──●───→u
　　　　　　　│
　　　　　　　│
　　　　　　　│
　　　　　　　│


━━━━━━　　┃　┃　┃　┃　＼＼＼＼＼＼
━━━━━━　　┃　┃　┃　┃　＼＼＼＼＼＼
━━━━━━　　┃　┃　┃　┃　＼＼＼＼＼＼
━━━━━━　　┃　┃　┃　┃　＼＼＼＼＼＼
Aに対応する縞　 Bに対応する縞　Cに対応する縞

時間変化する周期信号が正弦波の重ね合わせで表されるように、2次元画像もこの2次元正弦波の重ね合わせで表すことができます。

さていま半透明の2枚の縞のシートを重ね合わせたとします。当然濃淡が変調されるわけですが、これは2次元正弦波同士のかけ算に相当します。時間変化する二つの正弦波のかけ算を行うと和の周波数成分、差の周波数成分が出てきますが、空間周波数でもこれと同じことが起こります。(2次元上ですからベクトル的に足し算・引き算を行います)
いまイに相当する縞とロに相当する縞を重ね合わせたとしますと、和であるハと差であるニに相当する新しい周期の縞が現れます。ハは空間周波数の絶対値(√(u^2+v^2))が高いのであまり気になりませんが(*2)、差をとった結果がニのように絶対値の低い周波数(原点に近い)だとこれが目に見えてきます。これがモアレの正体です。音の話で言えば「うなり」に相当します。

　　　　　　　v
　　　　　　　↑
　　　　　　　│
　　　　　　　│イ　　×ハ
　　　　　　　│○
　　　　　　　│　　●ロ
───────┼──────→u
　　　　　　　│　△ニ
　　　　　　　│
　　　　　　　│
　　　　　　　│

イとロに十分な差があり、差に相当する2次元正弦波の周波数の絶対値が原点から離れている場合は、モアレが現れることはありますがあまり気になりません。

質問の趣旨を読み違えていたらすみません。

--------
*1　周波数には正負がありますから、ある2次元正弦波が(u1, v1)という点に対応するとき、同時に(-u1, -v1)も同様に対応いたします。従って厳密には、uv平面上の1点に対応するのでなく、原点を中心として点対称の位置にある2点に対応することになります。
*2　人間の目はローパスフィルタの特性を持っており空間周波数の高い(細かい)縞はよく見えません。従って和の方はあまり気にならないのです。

この回答へのお礼

　お礼を言うのが遅くなって申し訳ありません。やはり、私の基礎知識
が無かったため、感覚的にしか理解できませんでしたが、どのような現
象なのかはわかったつもりにはなれました。図解などとても親切で本当
に助かりました。有り難うごさいました。また聞くことがあるかもしれ
ませんが、お暇があれば助けて下さい。どうぞよろしくお願いします。

お礼日時：2002/04/23 10:57