９で割れる整数の規則性

たとえば３桁の整数で「３５１」だったら、それぞれの位の数字を足すと３＋５＋１＝９になります。
この数字が９で割り切れることができれば、もとの数字「３５１」も９で割り切れるというのをご存知の方も多いと思いますが、これってなんでそうなるのか分かる方いらしたら教えてください。
宜しくお願いします。

No.9 ベストアンサー 回答者： ilnmfay 回答日時： 2006/12/07 17:07

簡単のために　3桁の数で。

100の位の数をa
10の位の数をb
１の位の数をcとします。
そうすると
すべての3桁の数は
100a+10b+c であらわせます。
続いてこの式を変形しますと、
100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=99a+9b+(a+b+c)
99a+9b+(a+b+c)に注目してください。
99aと9bは9の倍数ですね。
となると（a+b+c)が９の倍数ならば99a+9b+(a+b+c)は９の倍数になります。ここでa+b+cは各桁の数の和なので3桁の数は各桁の数の和が９の倍数ならば　９で割り切れることが証明されます。

同様に4桁
1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)
5桁
10000a+1000b+100c+10d+e=9999a+999b+99c+9d+(a+b+c+d+e)
6桁、7桁…とどの桁でも通用することが想像できます。

昔、確か…千葉大学の過去問でこの証明を見た気がします。
あと京都大学の過去問で７の倍数に関するこの手の証明を見た気がします。なかなかきれいな証明で好きです。

No.8 回答者： chie65536 回答日時： 2006/12/07 14:07

「九去法」でグーグル検索すると、解説やら応用やらがいっぱい出てきます。

かなり詳しく解説しているページがあるので、ここの回答を読むより早いです。

No.7 回答者： FUURINKAASAN 回答日時： 2006/12/07 13:47

興味がありましたら、こちらもどうぞ

割り切り判定法
http://yosshy.sansu.org/warikire.htm

もっと分りやすいサイトがあったんですが、
どこだったかな？

No.6 回答者： noname#22222 回答日時： 2006/12/07 13:27

s_husky です。

撤回！

No.5 回答者： noname#63990 回答日時： 2006/12/07 13:11

３５１＝３＊（９９＋１）＋５＊（９＋１）＋１

上の式から、たぶん３も５も１も、９で割ったあまりになると思いますので、そのあまりが９で割れれば割り切れる、ということじゃないかと思います。

No.4 回答者： kishiura 回答日時： 2006/12/07 13:10

３５１というのは３×１００＋５×１０＋１×１　です。

ここで、10^n －1は９の倍数です。（因数分解により証明。直感的にも分かりますね。）
したがって、３×９９＋５×９　は、各位が何であろうと９の倍数です。
ゆえに、３＋５＋１　が９の倍数であれば元の数も９の倍数になるのです。

No.3 回答者： velvet-rope 回答日時： 2006/12/07 13:08

各位の数を足すと9の倍数になる場合、その数は9の倍数になります。

証明は簡単です。

n桁の整数をa1、a2、・・、anとすると、その整数は
a1×10^(n-1)＋a2×10^(n-2)＋・・・＋an×10^0
とあらわされます。これを下記のように変更します。
　{a1×(10^(n-1)－1)＋a2×(10^(n-2)－1)＋・・・＋an×(10^0－1)}
　　＋{a1＋a2＋・・・＋an}
PCでは表現がややこしいので、ご自身で紙に書かれることをお勧めします。
{a1×(10^(n-1)－1)＋a2×(10^(n-2)－1)＋・・・＋an×(10^0－1)}
の部分が9の倍数であるので、{a1＋a2＋・・・＋an}が9の倍数ならこの数は全体で9の倍数となります。
そして、{a1＋a2＋・・・＋an}は各位の数の和になります。

※10^(n-1)－1が9の倍数になる理由がわからないようであれば、もう一度ご質問ください。

同様に各位の数を足すと3の倍数になる場合、その数は3の倍数になることも示せます。

No.2 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2006/12/07 13:07

これは、 351 = 3×100 + 5×10 + 1 という見方が必要です。

ここで、 100 = 99 + 1 , 10 = 9 + 1 ですから、
351 = 3×(99 + 1) + 5×(9 + 1) + 1 です。
分配法則というのがあって、例えば、
２×（３＋４）＝２×３＋２×４ と足し算とかけ算が混ざっている場合に、この形のものは、括弧を外すことができます。
つまり、
351 = 3×99 + 3 + 5×9 + 5×1 + 1 です。
ここで、351 を 9 で割ると、3×99 や、5×9 は当然、9で割り切れますから、あまりは、3 + 5 + 1 つまり、各桁の数字になります。

つまり、一般に、各桁の数字の合計は元の数字を９で割ったときの余りになります。（各桁の数字の合計が２桁いじょうになったら、同じように計算して、最後は一桁になります）

No.1 回答者： noname#22222 回答日時： 2006/12/07 13:06

５３１は９で割り切れませんが・・・。