行列の積の可換条件

線形代数で二つのｎ次正方行列が可換になる条件とはどんなものなのか？
特に対角化できない行列Aに対し、交換可能な行列Bはどんなものか？
それについて詳しく書いてある本を教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masuda_takao 回答日時： 2007/01/12 02:10

　本じゃないですが、

http://www.junko-k.com/collo/collo185.htm
...は一つの手がかりになるかも知れません（参考文献を含む）。

　対角化不可能な場合に関しては、ちょっと考えが浮かばないですね。
　数学的には興味深い問題だと思います。

　ホンの露払いまで。

この回答への補足

なるほど面白いですね。
固有値の違うジョルダン標準形が交換可能だとおもっていなかったので
読むのに時間がかかってしまいました。
追加で質問なんですが式（２３）の右矢印は、証明していませんよね？

補足日時：2007/01/13 18:55

この回答へのお礼

いままでべき級数だけが、交換可能なのかと疑問に思っていたので、
世界が広がりました。ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/17 19:24

No.2 回答者： adinat 回答日時： 2007/01/12 14:21

対角化可能なときは、同時対角化ができることが必要十分条件です。

したがって、一般には対角化できない行列に対して、同時固有分解あるいは同時標準化（たとえばジョルダン標準形）ができることが必要十分だと思います（こちらは詳しくは知らない）。同時三角化できることなら容易に分かります。たぶん東大出版の線形代数演習（有名な線形代数の方ではない）か何かに載っていたように思います。

たぶんスペクトル分解をするときの単位の分解（射影分解）で共通なものが取れることが鍵になると思うので、関数解析の本とか読めば参考になるかも知れません。

この回答への補足

No.1さんの参考サイトを見てみると、どうやら同時標準化あたりが鍵のようですね。
ところで同時固有値分解がよくわからなかったのですが、
スペクトル分解ともいいますか？
その場合、正規変換だけに適用できるんでしたっけ？

補足日時：2007/01/13 19:11

この回答へのお礼

固有分解はスペクトル分解とは別の概念なのですね。
固有値分解ではなく、固有空間分解のようですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/17 19:37