「または」と「かつ」と「でない」だけでP⇒Qをどう定義する?

Question

数学基礎論の入門書に
"前節で「または」と「かつ」と「でない」だけでP⇒Qを定義した。"
と記述してあります(PとQは命題)。
でも「ならば」の項目の所を見ても、
"数学ではならばというのを用いるこれを記号で⇒と書く"
だけしか説明されてません。
どうやって
「または」と「かつ」と「でない」だけで「ならば」をどう定義するのでしょうか?

ddtddtddt · Accepted Answer

数学基礎論の本は、初見ではわかりにくいですよね。⇒の定義は、前節に本当に載っているのかもしれませんが、「これが定義か？！」と思うような定義がなされているのかもしれないと想像しました。以下、「否定」を「～」で、「または」を「ou」で、「かつ」を「et」で表します（この記法に慣れているので）。また集合の合併を∪で、共通分を∩で、集合aの補集合をa'で表します。
　私見ですが、⇒の定義は、以下の三段論法と関連付けないと、わかりにくいと思います。

　　Ｃ1（三段論法）：ＰとＰ⇒Ｑが真なら、Ｑは真．

　まず、Ｐが真であることをどうやって確認するかを考えます。Ｐが対象xに関する性質を述べる事をＰ(x)と書きます。Ｐ(x)の真偽はふつう、現実との比較テストです。この判断は具体的に実行可能としますが、Ｐ(x)は真にも偽にも成り得ます。一方Ｐ(x)⇒Ｑ(x)ですが、これはこの推論Ｃ1の要です。Ｐ(x)⇒Ｑ(x)は任意のxで常に真だからこそ、Ｃ1は成り立つと考えられます。このことをここでは、普遍的に真と呼んでおきます。そこでＰ(x)⇒Ｑ(x)には通常、命題理論から得られた恒真関係を使います。典型的にはＰ(x)⇒Ｐ(x)みたいな奴です。Ｐ(x)⇒Ｐ(x)のxには、何を代入しても成立します。そうするとＣ1を使うためには、Ｐ(x)⇒Ｑ(x)の定義を、普遍的に真な形に整えておかないと議論を進めづらいです。
　Ｐ(x)⇒Ｑ(x)が普遍的に真である事の定義を考えます。Ｐを満たす対象全体の集合（素朴な意味での）をp，Ｑを満たす対象全体の集合をqとします。またp，qを含む全体集合（だから素朴な意味ですって！）をＸとします。Ｐ(x)⇒Ｑ(x)の意味は、p⊂qが成り立つという事です。ベン図を描くとすぐわかりますが、これはp'∪q＝Ｘと同じ事です。補集合'や∪と、論理記号～やouとの対応を考えると、p'∪q＝Ｘは、～Ｐ(x)ouＱ(x)が全体集合Ｘで成り立つ普遍的に真な関係ということになります。直下では、同値記号⇔を素朴な意味で使いますが、
　　Ｐ(x)⇒Ｑ(x)　⇔　p⊂q　⇔　p'∪q＝Ｘ　⇔　～Ｐ(x)ouＱ(x)が普遍的に真．
という図式から、～ＰouＱをＰ⇒Ｑで「略記」する事にします。これがＰ⇒Ｑの「定義」です。同様な発想でＰetＱは、
　　～((～Ｐ)ou(～Ｑ))
で、Ｐ⇔Ｑは、
　　(Ｐ⇒Ｑ)et(Ｑ⇒Ｐ)
の「省略記法」の事だと定義できます。これらの定義のもとに、命題理論のシェーマを適用すると（以下は厳密な⇔の使用です）、
　　(Ｐ⇒Ｑ)　⇔　(～ＰouＱ)　⇔　～(Ｐet(～Ｑ))
を証明できます。なを三段論法Ｃ1が有効なのは、Ｐ(x)が真の場合のみです。そこで現実との比較テストによりＰ(x)真を確かめよ、というのがＣ1の前半の趣旨だと思います。

参考URL：http://home.p07.itscom.net/strmdrf/basic_com1.htm

y_akkie · Answer

#4,5です。
不詳ながらの説明であるにも関らず、お礼を頂いて嬉しい限りです。

>再度、本を見直しましたがこのような定義はやはり記載されてません。

数学基礎論の文献に関してはあまり詳しくは分かりませんが、これは
既知の事実としては知られているようです。

詳細：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%AB%E6%84%8F

また、導出過程においては、真偽値表を用いると簡単になります。
xorなどの排他的論理和などもこうした方法によって導出可能になります。
xorに関する真偽値表は以下のとおりになります。

P Q  P xor Q
F F    F
F T    T
T F    T
T T    F

ここで、P xor QがTになるようなケースに着目すればよいわけです。
もし、P = T ならば、P,　P = F ならばP'と表現されるわけです。
Ｑの場合も同様にこのような形で表現されます。
よって、「PかつＱ'」または「ＰかつＱ'」の場合に排他的論理和の値が真
になりますので、これを式で表現すれば、P'∩Q∪P'∩Qになり、
P xor Qに対しても、and or notのみの式で表現できる事が分かります。
排他的論理和の詳細に関しては、以下のＵＲＬを参照して下さい。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%92%E4%BB%96%E7%9A%84%E8%AB%96%E7%90%86%E5%92%8C

y_akkie · Answer

#4です。すみません、中途半端な計算結果を載せていました。
Q ∪ P'∩Ｑ’の部分の式をもう少し簡略化できます。
A ∪ A'∩Ｂ ＝　Ａ∪Ｂが成立するので、これを適用すると、

P⇒Q = Q ∪ P'∩ Q = Q ∪ P'
になります。

すなわち、　PならばＱは、「QまたはP'」と定義されます。

y_akkie · Answer

「ＰならばＱ」が成立するのは、「ＰかつＱ」、「ＰかつＱでない」、
「ＰでないかつＱでない」の３つの領域のみです。
これにより、「ＰかつＱ」または「ＰかつＱでない」または「Ｐでないかつ
Ｑでない」が「ＰならばＱ」の定義領域になります。
ここで、「ＰかつＱ」または「ＰかつＱでない」は全てＱに含まれる事
が分かりますので、なので、「Ｑ」または「ＰでないかつＱでない」
になります。

これらを式で表すと、
P⇒Q　= Q ∪ P'∩Ｑ’になります。

koko_u · Answer

>わかりません。
わしもじゃ。

前節とやらをよく読めば、P => Q と「同値」な命題が載ってるんじゃないかな。

Tacosan · Answer

入門書に
"前節で「または」と「かつ」と「でない」だけでP⇒Qを定義した。"
と書いてあるんだから, その「前節」を読めばわかるんじゃないの?

ANASTASIAK · Answer

x=[a,b,c,a]
for(var q=0;q.length;q++){
if((x[q]!=b&&x[q]!=c)||x[q]==a)
XX ::x[q]
}

「または」と「かつ」と「でない」だけでP⇒Qをどう定義する?

#4,5です。

数学基礎論の本は、初見ではわかりにくいですよね。

#4です。

「ＰならばＱ」が成立するのは、「ＰかつＱ」、「ＰかつＱでない」、

>わかりません。

入門書に

x=[a,b,c,a]

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