確率変数の線形変換：連続型

Xが次の密度関数f(x)=4e^{-4x}, (x≧0)を持つとき、Y=2X+3の密度関数g(y)を求めよ。
がわかりません。。。。ご指導お願いいたします。

No.1 回答者： nubou 回答日時： 2002/05/15 08:14

ｘ＜０ならｆ（ｘ）＝０であるようにｆ（ｘ）を拡張する

Ｙ＝２・Ｘ＋３の分布関数をＧ（ｙ）とし密度関数をｇ（ｙ）とすると
Ｇ（ｙ）＝
∫（２・ｘ＋３≦ｙ）ｄｘ・ｆ（ｘ）＝
∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・ｈ（ｙ－２・ｘ－３）・ｆ（ｘ）
従って
ｇ（ｙ）＝（ｄ／ｄｙ）・Ｇ（ｙ）＝
∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・（ｄ／ｄｙ）・ｈ（ｙ－２・ｘ－３）・ｆ（ｘ）＝
∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・δ（ｙ－２・ｘ－３）・ｆ（ｘ）＝
∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・δ（ｘ－ｙ／２＋３／２）／２・ｆ（ｘ）＝
ｆ（ｙ／２－３／２）／２
従って
ｙ＜３ならばｇ（ｙ）＝０であり
３≦ｙならばｇ（ｙ）＝２・ｅ＾（６－２・ｙ）

No.2 回答者： nubou 回答日時： 2002/05/15 14:44

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・（ｄ／ｄｙ）・ｈ（ｙ－２・ｘ－３）・ｆ（ｘ）＝
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
∫（－∞＜ｘ＜∞）ｄｘ・（∂／∂ｙ）・ｈ（ｙ－２・ｘ－３）・ｆ（ｘ）＝

罪滅ぼしにローテクの方法も示しておきましょう

ｘ＜０ならｆ（ｘ）＝０であるようにｆ（ｘ）を拡張し
Ｘの分布関数をＦ（ｘ）とし
Ｙ＝２・Ｘ＋３の分布関数をＧ（ｙ）とし密度関数をｇ（ｙ）とする

Ｇ（ｙ）＝
∫（２・ｘ＋３≦ｙ）ｄｘ・ｆ（ｘ）＝ ∫（－∞＜ｘ≦（ｙ－３）／２）ｄｘ・ｆ（ｘ）＝
Ｆ（（ｙ－３）／２）－Ｆ（－∞）＝Ｆ（（ｙ－３）／２）
従って
ｇ（ｙ）＝
（ｄ／ｄｙ）・Ｇ（ｙ）＝（ｄ／ｄｙ）・Ｆ（（ｙ－３）／２）＝ｆ（（ｙ－３）／２）／２
従って
ｙ＜３ならばｇ（ｙ）＝０であり
３≦ｙならばｇ（ｙ）＝２・ｅ＾（６－２・ｙ）

No.3 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2002/05/16 22:53

Xの分布関数をF(x)とすると、

F(x) = 0(x<0), 1-e^{-4x}(x>=0)　また当然 F(x) = P(X<=x)
よって、Yの密度関数をG(y)とすると、
G(y) = P(Y<=y) = P(X<=(y-3)/2) = F((y-3)/2)
すなわち、G(y) = 0(y<3), 1-e^{-2(y-3)}(y>=3)
これを微分して、g(y) = 2e^{-2(y-3)} (y>=3)

内容はnubouさんの書かれていることと同様と思いますが、
分布関数とはなにか？という定義（そもそもの意味合い）に戻れば、G(y) = F((y-3)/2)はすぐに思いつくはずです。
密度関数を求める際に、分布関数から攻めることはけっこうあると思われますので、これを機に身につけて下さいね。(^^)