A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
ラプラス変換による計算法方を用いれば
p*p*...*p (pがn個の畳み込み)を素早く求めることができる。
(p*p*...*p)(x)のラプラス変換は
(P(s))^n=((1-exp(-s))/s)^n=Σ[k:0→n]C(n,k)(-1)^kexp(-ks)/s^n
上記をラプラス逆変換して
(p*p*...*p)(x)=Σ[k:0→n]C(n,k)(-1)^k(x-k)^(n-1)h(x-k)/(n-1)!
ただしC(n,k)=n!/k!/(n-k)!
No.4
- 回答日時:
地道に場合分けの積分が嫌な場合の計算方法:
p(x)=h(x)-h(x-1)
の両側ラプラス変換をP(s)と書くと
P(s)=1/s-exp(-s)/s=(1-exp(-s))/s
(p*p)(x)の両側ラプラス変換は
(P(s))^2=(1-2exp(-s)+exp(-2s))/s^2
これを逆ラプラス変換して(p*p)(x)は
xh(x)-2(x-1)h(x-1)+(x-2)h(x-2)
(p*p*p)(x)の両側ラプラス変換は
(P(s))^3=(1-3exp(-s)+3exp(-2s)-exp(-3s))/s^3
これを逆ラプラス変換して(p*p*p)(x)は
(x^2h(x)-3(x-1)^2h(x-1)+3(x-2)^2h(x-2)-(x-3)^2h(x-3))/2
ただし、ラプラス変換に通じてない場合には地道に場合分け積分するしかない。
No.3
- 回答日時:
∫が抜けていたりdxが余計についていたりしていたので修正
h(x)=0(x<0),1(0<x)とする。
X,Yが互いに独立で密度をそれぞれp,qとすると
S=X+Yの分布をFとし密度をfとすると
F(s)=∫∫h(s-x-y)p(x)q(y)dxdy
よって
f(s)=F'(s)
=∫∫h'(s-x-y)p(x)q(y)dxdy=∫∫δ(s-x-y)p(x)q(y)dxdy=∫p(x)q(s-x)dx
=(p*q)(s)
ただしp*qはpとqの畳み込み積分
以上から
X+Yの密度がp*qであることが分かった
ここでZがX,Yと互いに独立で密度がrとすると
X+Y+Zの密度は
(X+Y)の密度とZの密度の畳み込みだから
(p*q)*r
p=q=rの場合は
X+Y+Zの密度はp*p*pである。
さらにp=h(x)-h(x-1)とすると
X+Yは三角山
X+Y+Zは頂上が丸っぽい富士山
No.2
- 回答日時:
h(x)=0(x<0),1(0<x)とする。
X,Yが互いに独立で密度をそれぞれp,qとすると
S=X+Yの分布をFとし密度をfとすると
F(s)=∫h(s-x-y)p(x)q(y)dxdy
よって
f(s)=F'(s)
=∫h'(s-x-y)p(x)q(y)dxdy=∫δ(s-x-y)p(x)q(y)dxdy=∫p(x)q(s-x)dxdy
=(p*q)(s)
ただしp*qはpとqの畳み込み積分
以上から
X+Yの密度がp*qであることが分かった
ここでZがX,Yと互いに独立で密度がrとすると
X+Y+Zの密度は
(X+Y)の密度とZの密度の畳み込みだから
(p*q)*r
p=q=rの場合は
X+Y+Zの密度はp*p*pである。
さらにp=h(x)-h(x-1)とすると
X+Yは三角山
X+Y+Zは頂上が丸っぽい富士山
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