n次導関数

ｆ(ｘ)＝ｅ＾ｘsin(x)のｎ次導関数の求め方が分かりません。
答えは（√２）＾ne＾xsin(ｘ+ｎπ/４)らしいんですが、途中式が省略されていて解法がつかめません。
このままライプニッツの公式を使っても見当がつかないですし、微分を繰り返しっても規則性がつかめません。
どなたかアドバイスお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/30 23:14

　1階ずつ微分するたびに三角関数の合成を行っていけば、規則性が見いだせますよ。

　　元の関数：f(x)＝exp(x)sin(x)
　　1階微分：f(1)(x)＝exp(x){sin(x)+cos(x)}＝√2exp(x)sin(x+π/4)
　　2階微分：f(2)(x)＝√2exp(x){sin(x+π/4)+cos((x+π/4)}＝(√2)^2 exp(x)sin(x+2π/4)
　　3回微分：f(3)(x)＝(√2)^2 exp(x){sin(x+2π/4)+cos(x+2π/4)}＝(√2)^3 exp(x)sin(x+3π/4)

　ここまでやればお分かりだと思いますが、ここからn階の微分は次のようになると予想されます。
　　n階微分：f(n)(x)＝(√2)^n exp(x)sin(x+nπ/4)

　あとは、これが正しいことを帰納的に証明すればOKでしょう。
　f(x)のn階微分がf(n)(x)＝(√2)^n exp(x)sin(x+nπ/4)だとすると、n+1階微分は、
　　f(n+1)(x)＝(√2)^n exp(x){sin(x+nπ/4)+cos(x+nπ/4)}
　　　　　　　＝(√2)^(n+1) exp(x)sin{x+(n+1)π/4}
となり、これはn階微分の式でnをn+1に置き換えたものと同じになり、f(1)(x)でも（f(0)(x)でもですが）成り立っているので、これで示せたことになると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解できました！！

お礼日時：2007/01/30 23:33

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/01/30 23:06

1回微分すると

e^xsinx+e^xcosx=√2e^xsin(x+π/4)
2回微分すると
√2(e^xsin(x+π/4)+e^xcos(x+π/4))
=(√2)^2e^xsin(x+2π/4)
3回微分すると
(√2)^2(e^xsin(x+2π/4)+e^xcos(x+2π/4))
=(√2)^3e^xsin(x+3π/4)
（加法定理はご存知ですか）
・・・
n回微分すると
(√2)^ne^xsin(x+nπ/4)

正確な証明を書くには、数学的帰納法により・・・
と書くのでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました。

お礼日時：2007/01/30 23:33

No.1 回答者： ONB 回答日時： 2007/01/30 23:01

>微分を繰り返しっても規則性がつかめません

何回微分まで計算しましたか？

少なくとも4回微分、それでも規則性に気づかなければ8回微分くらいまで計算してみてください。