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f(x)=e^xsin(x)のn次導関数の求め方が分かりません。
答えは(√2)^ne^xsin(x+nπ/4)らしいんですが、途中式が省略されていて解法がつかめません。
このままライプニッツの公式を使っても見当がつかないですし、微分を繰り返しっても規則性がつかめません。
どなたかアドバイスお願いします。

A 回答 (3件)

 1階ずつ微分するたびに三角関数の合成を行っていけば、規則性が見いだせますよ。


  元の関数:f(x)=exp(x)sin(x)
  1階微分:f(1)(x)=exp(x){sin(x)+cos(x)}=√2exp(x)sin(x+π/4)
  2階微分:f(2)(x)=√2exp(x){sin(x+π/4)+cos((x+π/4)}=(√2)^2 exp(x)sin(x+2π/4)
  3回微分:f(3)(x)=(√2)^2 exp(x){sin(x+2π/4)+cos(x+2π/4)}=(√2)^3 exp(x)sin(x+3π/4)

 ここまでやればお分かりだと思いますが、ここからn階の微分は次のようになると予想されます。
  n階微分:f(n)(x)=(√2)^n exp(x)sin(x+nπ/4)

 あとは、これが正しいことを帰納的に証明すればOKでしょう。
 f(x)のn階微分がf(n)(x)=(√2)^n exp(x)sin(x+nπ/4)だとすると、n+1階微分は、
  f(n+1)(x)=(√2)^n exp(x){sin(x+nπ/4)+cos(x+nπ/4)}
       =(√2)^(n+1) exp(x)sin{x+(n+1)π/4}
となり、これはn階微分の式でnをn+1に置き換えたものと同じになり、f(1)(x)でも(f(0)(x)でもですが)成り立っているので、これで示せたことになると思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。理解できました!!

お礼日時:2007/01/30 23:33

1回微分すると


e^xsinx+e^xcosx=√2e^xsin(x+π/4)
2回微分すると
√2(e^xsin(x+π/4)+e^xcos(x+π/4))
=(√2)^2e^xsin(x+2π/4)
3回微分すると
(√2)^2(e^xsin(x+2π/4)+e^xcos(x+2π/4))
=(√2)^3e^xsin(x+3π/4)
(加法定理はご存知ですか)
・・・
n回微分すると
(√2)^ne^xsin(x+nπ/4)

正確な証明を書くには、数学的帰納法により・・・
と書くのでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました。

お礼日時:2007/01/30 23:33

>微分を繰り返しっても規則性がつかめません



何回微分まで計算しましたか?

少なくとも4回微分、それでも規則性に気づかなければ8回微分くらいまで計算してみてください。
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