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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
1階ずつ微分するたびに三角関数の合成を行っていけば、規則性が見いだせますよ。
元の関数:f(x)=exp(x)sin(x)
1階微分:f(1)(x)=exp(x){sin(x)+cos(x)}=√2exp(x)sin(x+π/4)
2階微分:f(2)(x)=√2exp(x){sin(x+π/4)+cos((x+π/4)}=(√2)^2 exp(x)sin(x+2π/4)
3回微分:f(3)(x)=(√2)^2 exp(x){sin(x+2π/4)+cos(x+2π/4)}=(√2)^3 exp(x)sin(x+3π/4)
ここまでやればお分かりだと思いますが、ここからn階の微分は次のようになると予想されます。
n階微分:f(n)(x)=(√2)^n exp(x)sin(x+nπ/4)
あとは、これが正しいことを帰納的に証明すればOKでしょう。
f(x)のn階微分がf(n)(x)=(√2)^n exp(x)sin(x+nπ/4)だとすると、n+1階微分は、
f(n+1)(x)=(√2)^n exp(x){sin(x+nπ/4)+cos(x+nπ/4)}
=(√2)^(n+1) exp(x)sin{x+(n+1)π/4}
となり、これはn階微分の式でnをn+1に置き換えたものと同じになり、f(1)(x)でも(f(0)(x)でもですが)成り立っているので、これで示せたことになると思います。
No.2
- 回答日時:
1回微分すると
e^xsinx+e^xcosx=√2e^xsin(x+π/4)
2回微分すると
√2(e^xsin(x+π/4)+e^xcos(x+π/4))
=(√2)^2e^xsin(x+2π/4)
3回微分すると
(√2)^2(e^xsin(x+2π/4)+e^xcos(x+2π/4))
=(√2)^3e^xsin(x+3π/4)
(加法定理はご存知ですか)
・・・
n回微分すると
(√2)^ne^xsin(x+nπ/4)
正確な証明を書くには、数学的帰納法により・・・
と書くのでしょう。
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No.1
- 回答日時:
>微分を繰り返しっても規則性がつかめません
何回微分まで計算しましたか?
少なくとも4回微分、それでも規則性に気づかなければ8回微分くらいまで計算してみてください。
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